Cho phương trình $4\log _{9}^{2}x+m{{\log...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho phương trình

4 \log_{9}^{2} x + m \log_{\frac{1}{3}} x + \frac{1}{6} \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x + m - \frac{2}{9} = 0

(m là tham số). Để phương trình có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

x_{1} x_{2} = 3

thì giá trị m thỏa mãn.
A.

1 < m < 2

B.

3 < m < 4

C.

0 < m < \frac{3}{2}

D.

2 < m < 3

Ta có:

4 \log_{9}^{2} x + m \log_{\frac{1}{3}} x + \frac{1}{6} \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x + m - \frac{2}{9} = 0 (x > 0)

\Leftrightarrow 4 {(\log_{3^{2}} x)}^{2} + m \log_{3^{- 1}} x + \frac{1}{6} \log_{3^{\frac{- 1}{2}}} x + m - \frac{2}{9} = 0

\Leftrightarrow 4 {(\frac{1}{2} \log_{3} x)}^{2} - m \log_{3} x - \frac{1}{3} \log_{3} x + m - \frac{2}{9} = 0

\Leftrightarrow \log_{3}^{2} x - (m + \frac{1}{3}) \log_{3} x + m - \frac{2}{9} = 0

(1).
Đặt

t = \log_{3} x

. Khi đó phương trình (1)

\Leftrightarrow t^{2} - (m + \frac{1}{3}) t + m - \frac{2}{9} = 0

(2).
Phương trình đã cho có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

x_{1} x_{2} = 3 \Leftrightarrow \log_{3} (x_{1} x_{2}) = 1

\Leftrightarrow \log_{3} x_{1} + \log_{3} x_{2} = 1 \Leftrightarrow t_{1} + t_{2} = 1

(với

t_{1} = \log_{3} x_{1}

và

t_{2} = \log_{3} x_{2}

).
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (2) ta có

t_{1} + t_{2} = 1 \Leftrightarrow (m + \frac{1}{3}) = 1 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}

.
Vậy

0 < m < \frac{3}{2}

là mệnh đề đúng.

Đáp án C.