Google
Câu hỏi: Cho phương trình $4\log _{9}^{2}x+m{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}x+\dfrac{1}{6}{{\log }_{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}}x+m-\dfrac{2}{9}=0$ (m là tham số). Để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=3$ thì giá trị m thỏa mãn.
A. $1<m<2$
B. $3<m<4$
C. $0<m<\dfrac{3}{2}$
D. $2<m<3$
A. $1<m<2$
B. $3<m<4$
C. $0<m<\dfrac{3}{2}$
D. $2<m<3$
Ta có: $4\log _{9}^{2}x+m{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}x+\dfrac{1}{6}{{\log }_{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}}x+m-\dfrac{2}{9}=0\left( x>0 \right)$
$\Leftrightarrow 4{{\left( {{\log }_{{{3}^{2}}}}x \right)}^{2}}+m{{\log }_{{{3}^{-1}}}}x+\dfrac{1}{6}{{\log }_{{{3}^{\dfrac{-1}{2}}}}}x+m-\dfrac{2}{9}=0$
$\Leftrightarrow 4{{\left( \dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}x \right)}^{2}}-m{{\log }_{3}}x-\dfrac{1}{3}{{\log }_{3}}x+m-\dfrac{2}{9}=0$
$\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-\left( m+\dfrac{1}{3} \right){{\log }_{3}}x+m-\dfrac{2}{9}=0$ (1).
Đặt $t={{\log }_{3}}x$. Khi đó phương trình (1) $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+\dfrac{1}{3} \right)t+m-\dfrac{2}{9}=0$ (2).
Phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{x}_{1}}+{{\log }_{3}}{{x}_{2}}=1\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=1$
(với ${{t}_{1}}={{\log }_{3}}{{x}_{1}}$ và ${{t}_{2}}={{\log }_{3}}{{x}_{2}}$ ).
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (2) ta có ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=1\Leftrightarrow \left( m+\dfrac{1}{3} \right)=1\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}$.
Vậy $0<m<\dfrac{3}{2}$ là mệnh đề đúng.
$\Leftrightarrow 4{{\left( {{\log }_{{{3}^{2}}}}x \right)}^{2}}+m{{\log }_{{{3}^{-1}}}}x+\dfrac{1}{6}{{\log }_{{{3}^{\dfrac{-1}{2}}}}}x+m-\dfrac{2}{9}=0$
$\Leftrightarrow 4{{\left( \dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}x \right)}^{2}}-m{{\log }_{3}}x-\dfrac{1}{3}{{\log }_{3}}x+m-\dfrac{2}{9}=0$
$\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-\left( m+\dfrac{1}{3} \right){{\log }_{3}}x+m-\dfrac{2}{9}=0$ (1).
Đặt $t={{\log }_{3}}x$. Khi đó phương trình (1) $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+\dfrac{1}{3} \right)t+m-\dfrac{2}{9}=0$ (2).
Phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{x}_{1}}+{{\log }_{3}}{{x}_{2}}=1\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=1$
(với ${{t}_{1}}={{\log }_{3}}{{x}_{1}}$ và ${{t}_{2}}={{\log }_{3}}{{x}_{2}}$ ).
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (2) ta có ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=1\Leftrightarrow \left( m+\dfrac{1}{3} \right)=1\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}$.
Vậy $0<m<\dfrac{3}{2}$ là mệnh đề đúng.
Đáp án C.