Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{4}^{-\left| x-a \right|}}.{{\log }_{\sqrt{3}}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)+{{2}^{-{{x}^{2}}+2x}}.{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}\left( 2\left| x+a \right|+2 \right)=0.$ Tập tất cả các giá trị của tham số a để phương trình có 4 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}$ là $\left( c;d \right).$ Khi đó giá trị biểu thức $T=2c+2d$ bằng.
A. 5
B. 2
C. 3
D. 4
A. 5
B. 2
C. 3
D. 4
HD: Phương trình $\Leftrightarrow {{2}^{1-2\left| x-a \right|}}.{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)={{2}^{-{{x}^{2}}+2x}}.{{\log }_{3}}\left( 2\left| x-a \right|+2 \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-2x}}.{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)={{2}^{2\left| x-a \right|-1}}.{{\log }_{3}}\left[ \left( 2\left| x-a \right|-1 \right)+3 \right]\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}-2x \right)=f\left( 2\left| x-a \right|-1 \right)\text{ }\left( * \right)$
Với hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}.{{\log }_{3}}\left( t+3 \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -3;+\infty \right)$
Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x=2\left| x-a \right|-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1=2\left| x-a \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-4x+2a+1=0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}=2a-1\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1; $\left( 2 \right)$ có nghiệm lớn hơn 1.
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( -2 \right)}^{2}}-\left( 2a+1 \right)>0 \\
& 2a-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-2a>0 \\
& 2a-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<a<\dfrac{3}{2}.$
Vậy $a\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow 2c+2d=4.$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-2x}}.{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)={{2}^{2\left| x-a \right|-1}}.{{\log }_{3}}\left[ \left( 2\left| x-a \right|-1 \right)+3 \right]\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}-2x \right)=f\left( 2\left| x-a \right|-1 \right)\text{ }\left( * \right)$
Với hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}.{{\log }_{3}}\left( t+3 \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -3;+\infty \right)$
Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x=2\left| x-a \right|-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1=2\left| x-a \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-4x+2a+1=0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}=2a-1\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1; $\left( 2 \right)$ có nghiệm lớn hơn 1.
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( -2 \right)}^{2}}-\left( 2a+1 \right)>0 \\
& 2a-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-2a>0 \\
& 2a-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<a<\dfrac{3}{2}.$
Vậy $a\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow 2c+2d=4.$
Đáp án D.