Cho phương trình ${{4}^{-\left| x-a \right|}}.{{\log...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho phương trình

4^{- | x - a |} . \log_{\sqrt{3}} (x^{2} - 2 x + 3) + 2^{- x^{2} + 2 x} . \log_{\frac{1}{3}} (2 | x + a | + 2) = 0.

Tập tất cả các giá trị của tham số a để phương trình có 4 nghiệm

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

thỏa mãn

x_{1} < 1 < x_{2} < x_{3} < x_{4}

là

(c; d) .

Khi đó giá trị biểu thức

T = 2 c + 2 d

bằng.
A. 5
B. 2
C. 3
D. 4

HD: Phương trình

\Leftrightarrow 2^{1 - 2 | x - a |} . \log_{3} (x^{2} - 2 x + 3) = 2^{- x^{2} + 2 x} . \log_{3} (2 | x - a | + 2)

\Leftrightarrow 2^{x^{2} - 2 x} . \log_{3} (x^{2} - 2 x + 3) = 2^{2 | x - a | - 1} . \log_{3} [(2 | x - a | - 1) + 3] \Leftrightarrow f (x^{2} - 2 x) = f (2 | x - a | - 1) (*)

Với hàm số

f (t) = 2^{t} . \log_{3} (t + 3)

là hàm số đồng biến trên

(- 3; + \infty)

Suy ra

(*) \Leftrightarrow x^{2} - 2 x = 2 | x - a | - 1 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 2 | x - a | \Leftrightarrow [\begin{aligned} x^{2} - 4 x + 2 a + 1 = 0 (1) \\ x^{2} = 2 a - 1 (2) \end{aligned}

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow (1)

có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1;

(2)

có nghiệm lớn hơn 1.
Do đó

{\begin{aligned} {(- 2)}^{2} - (2 a + 1) > 0 \\ 2 a - 1 > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 3 - 2 a > 0 \\ 2 a - 1 > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < a < \frac{3}{2} .

Vậy

a \in (\frac{1}{2}; \frac{3}{2}) \Rightarrow 2 c + 2 d = 4.

Đáp án D.