Cho phương trình ${{3}^{x}}=\sqrt{a{{.3}^{x}}\cos \left( \pi x...

Ta có ${{3}^{x}}=\sqrt{a{{.3}^{x}}\cos \left( \pi x \right)-9}$ $\Leftrightarrow {{9}^{x}}=a{{.3}^{x}}\cos \left( \pi x \right)-9$ (vì ${{3}^{x}}>0$ ) $\Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=a.\cos \left( \pi x \right)$ (*)
Điều kiện cần: Nếu phương trình (*) có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}$ thì ta thấy rằng $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của (*) do đó ${{x}_{0}}=2-{{x}_{0}}$ $\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1$. Thay vào (*) ta được $a=-6.$
Điều kiện đủ: Ngược lại nếu $a=-6$ thì phương trình (*) trở thành ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=-6.\cos \left( \pi x \right)$
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}\ge 2.\sqrt{{{3}^{x}}{{.3}^{2-x}}}=6$ mà $-6.\cos \left( \pi x \right)\le 6$ do đó
${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=-6.\cos \left( \pi x \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=6 \\
& -6\cos \left( \pi x \right)=6 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}={{3}^{2-x}} \\
& \cos \left( \pi x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow x=1$
Vậy có duy nhất $a=-6$ thỏa yêu cầu bài toán.