Cho phương trình ${{3}^{x}}=\sqrt{a{{.3}^{x}}\cos \left( \pi x...

Ta có (vì ) (*)
Điều kiện cần: Nếu phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì ta thấy rằng cũng là nghiệm của (*) do đó . Thay vào (*) ta được
Điều kiện đủ: Ngược lại nếu thì phương trình (*) trở thành
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: mà do đó
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=6 \\
& -6\cos \left( \pi x \right)=6 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}={{3}^{2-x}} \\
& \cos \left( \pi x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow x=1$
Vậy có duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.