Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{3}^{x}}+m={{\log }_{3}}\left( x-m \right)$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x\in \left( -15;15 \right)$ để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 16.
B. 9.
C. 14.
D. 15.
A. 16.
B. 9.
C. 14.
D. 15.
Định hướng giải. Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng sau đó cô lập tham số.
Ta có ${{3}^{x}}+m={{\log }_{3}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{3}^{x}}+x={{\log }_{3}}\left( x-m \right)+x-m$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+t$, với $t\in \mathbb{R}$. Có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên tập xác định. Mặt khác phương trình $\left( * \right)$ có dạng: $f\left( x \right)=f\left( {{\log }_{3}}\left( x-m \right) \right)$
Do đó ta có $f\left( x \right)=f\left( {{\log }_{3}}\left( x-m \right) \right)\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{3}^{x}}=x-m=-m$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{3}^{x}}-x$, với $x\in \mathbb{R}$. Có ${g}'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-1$, ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{\ln 3} \right)$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm là: $m\in \left( -\infty ;-g\left( {{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{\ln 3} \right) \right) \right]$. Vậy số giá trị nguyên của $m\in \left( -15;15 \right)$ để phương trình đã cho có nghiệm là: 14 .
Ta có ${{3}^{x}}+m={{\log }_{3}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{3}^{x}}+x={{\log }_{3}}\left( x-m \right)+x-m$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+t$, với $t\in \mathbb{R}$. Có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên tập xác định. Mặt khác phương trình $\left( * \right)$ có dạng: $f\left( x \right)=f\left( {{\log }_{3}}\left( x-m \right) \right)$
Do đó ta có $f\left( x \right)=f\left( {{\log }_{3}}\left( x-m \right) \right)\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{3}^{x}}=x-m=-m$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{3}^{x}}-x$, với $x\in \mathbb{R}$. Có ${g}'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-1$, ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{\ln 3} \right)$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm là: $m\in \left( -\infty ;-g\left( {{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{\ln 3} \right) \right) \right]$. Vậy số giá trị nguyên của $m\in \left( -15;15 \right)$ để phương trình đã cho có nghiệm là: 14 .
Đáp án C.