Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)-\left( {{3}^{x}}+m+2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}=2\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}$, với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của $m$ để phương trình có nghiệm thực?
A. 3.
B. 6.
C. 4.
D. 5.
A. 3.
B. 6.
C. 4.
D. 5.
${{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)-\left( {{3}^{x}}+m+2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}=2\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}$
$\Leftrightarrow {{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)=\left( {{3}^{x}}+m+2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}+2\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}$
$\Leftrightarrow {{3}^{3x}}+{{3}^{x}}=\left( {{3}^{x}}+m+3 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}+\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}$
$\Leftrightarrow {{3}^{3x}}+{{3}^{x}}={{\left( \sqrt{{{3}^{x}}+m+3} \right)}^{3}}+\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}$.
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$.
Vậy $\Leftrightarrow {{3}^{3x}}+{{3}^{x}}={{\left( \sqrt{{{3}^{x}}+m+3} \right)}^{3}}+\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\Leftrightarrow f\left( {{3}^{x}} \right)=f\left( \sqrt{{{3}^{x}}+m+3} \right)$
$\Leftrightarrow {{3}^{x}}=\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\Leftrightarrow {{3}^{2x}}-{{3}^{x}}-3=m$. (*)
Đặt $u={{3}^{x}}$, với điều kiện $u>0$ và đặt $g\left( u \right)={{u}^{2}}-u-3$
Phương trình (*) $\Leftrightarrow g\left( u \right)=m$.
${g}'\left( u \right)=2u-1$, ${g}'\left( u \right)=0\Leftrightarrow u=\dfrac{1}{2}$ ta có bảng biến thiên của $g\left( u \right)$ :
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi $m>-\dfrac{13}{4}$.
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của $m$ để phương trình có nghiệm thực là: -3; -2; -1.
$\Leftrightarrow {{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)=\left( {{3}^{x}}+m+2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}+2\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}$
$\Leftrightarrow {{3}^{3x}}+{{3}^{x}}=\left( {{3}^{x}}+m+3 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}+\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}$
$\Leftrightarrow {{3}^{3x}}+{{3}^{x}}={{\left( \sqrt{{{3}^{x}}+m+3} \right)}^{3}}+\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}$.
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$.
Vậy $\Leftrightarrow {{3}^{3x}}+{{3}^{x}}={{\left( \sqrt{{{3}^{x}}+m+3} \right)}^{3}}+\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\Leftrightarrow f\left( {{3}^{x}} \right)=f\left( \sqrt{{{3}^{x}}+m+3} \right)$
$\Leftrightarrow {{3}^{x}}=\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\Leftrightarrow {{3}^{2x}}-{{3}^{x}}-3=m$. (*)
Đặt $u={{3}^{x}}$, với điều kiện $u>0$ và đặt $g\left( u \right)={{u}^{2}}-u-3$
Phương trình (*) $\Leftrightarrow g\left( u \right)=m$.
${g}'\left( u \right)=2u-1$, ${g}'\left( u \right)=0\Leftrightarrow u=\dfrac{1}{2}$ ta có bảng biến thiên của $g\left( u \right)$ :
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi $m>-\dfrac{13}{4}$.
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của $m$ để phương trình có nghiệm thực là: -3; -2; -1.
Đáp án A.