Cho phương trình ${{3}^{x-3+\sqrt[3]{m-3x}}}+\left(...

The Knowledge · 28/3/22

Câu hỏi: Cho phương trình

3^{x - 3 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) {.3}^{x - 3} = 3^{x} + 1

. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt là
A.

38.

B.

34 \cdot

C.

27 \cdot

D.

5 \cdot

Ta có hệ sau:

3^{x - 3 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) {.3}^{x - 3} = 3^{x} + 1 \begin{matrix} (*) \end{matrix}

.
Phương trình

(*)

tương đương:

\begin{aligned} \begin{array}{c} 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) = \frac{3^{x} + 1}{3^{x - 3}} \end{array} \\ \Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m - 3 x + 3 x = 27 + 3^{3 - x} \\ \Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + m - 3 x = 3^{3 - x} + (27 - 27 x + 9 x^{2} - x^{3}) \\ \Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + {(\sqrt[3]{m - 3 x})}^{3} = 3^{3 - x} + {(3 - x)}^{3} \\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{m - 3 x} = 3 - x \\ \Leftrightarrow m = - x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 27 = f (x) \end{aligned}

Xét

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 18 x - 24 = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 2 \\ x = 4 \end{aligned}

.
BBT

Dựa vào BBT, để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì

7 < m < 11

Vì

m \in Z \Rightarrow m = {8, 9, 10} \Rightarrow \sum m = 27

.

Đáp án C.