Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${2m{\cos ^2}x + 2\sin 2x + m - 1 = 0}$. Có bao nhiêu số nguyên của ${m}$ để phương trình trên có đúng một nghiệm thuộc ${\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]}$ ?
A. ${3}$.
B. ${1}$.
C. ${0}$.
D. ${2}$.
A. ${3}$.
B. ${1}$.
C. ${0}$.
D. ${2}$.
Ta có: $2m{{\cos }^{2}}x+2\sin x+m-1=0$ vì $\cos x\ne 0,\forall x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{4} \right]$
$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)ta{{n}^{2}}x+4\tan x+3m-1=0\left( 1 \right)$
Nếu $m=1 pt\Leftrightarrow 4\tan x+2=0$ (loại)
Nếu $m\ne 1$ Đặt $t=\tan x t\in \in \left[ 0;1 \right]$ vì $t=\tan x$ đồng biến nên ứng với 1 nghiệm t tương đương với 1 nghiệm $x$.Nên số nghiệm của phương trình biến rbằng số nghiệm theo t
Phương trình (1) trở thành $\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4t+3m-1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}-4t+1}{{{t}^{2}}+3}$
Đặt $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-4t+1}{{{t}^{2}}+3}\Rightarrow g'\left( t \right)=\dfrac{4{{t}^{2}}-4t-12}{{{\left( {{t}^{2}}+3 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2} \\
& t=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bằng biến thiên:
Suy ra $-\dfrac{1}{2}\le m\le \dfrac{1}{3}\Rightarrow m=0$
$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)ta{{n}^{2}}x+4\tan x+3m-1=0\left( 1 \right)$
Nếu $m=1 pt\Leftrightarrow 4\tan x+2=0$ (loại)
Nếu $m\ne 1$ Đặt $t=\tan x t\in \in \left[ 0;1 \right]$ vì $t=\tan x$ đồng biến nên ứng với 1 nghiệm t tương đương với 1 nghiệm $x$.Nên số nghiệm của phương trình biến rbằng số nghiệm theo t
Phương trình (1) trở thành $\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4t+3m-1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}-4t+1}{{{t}^{2}}+3}$
Đặt $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-4t+1}{{{t}^{2}}+3}\Rightarrow g'\left( t \right)=\dfrac{4{{t}^{2}}-4t-12}{{{\left( {{t}^{2}}+3 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2} \\
& t=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bằng biến thiên:
Suy ra $-\dfrac{1}{2}\le m\le \dfrac{1}{3}\Rightarrow m=0$
Đáp án B.