Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{25}^{x}}-\left( m+2 \right){{5}^{x}}+2m+1=0$, $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ 0;2018 \right]$ để phương trình có nghiệm?
A. 2015.
B. 2016.
C. 2018.
D. 2017.
A. 2015.
B. 2016.
C. 2018.
D. 2017.
Đặt $t={{5}^{x}}>0$, khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+2m+1=0$
$\Leftrightarrow m\left( t-2 \right)={{t}^{2}}-2t+1\Rightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}\left( t\ne 2 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}$ trên $\left( 0;2 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-4t+3}{{{\left( t-2 \right)}^{2}}}$ ;
Phương trình ${f}'\left( t \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=3 \\
\end{aligned} \right. $. Tính $ f\left( 1 \right)=0;f\left( 3 \right)=4$
Dựa vào bảng biến thiên, để $m=f\left( t \right)$ có nghiệm khi $\left[ \begin{aligned}
& m\ge 4 \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với $m\in \left[ 0,2018 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow[{}]{{}}$ có 2016 giá trị nguyên $m$.
$\Leftrightarrow m\left( t-2 \right)={{t}^{2}}-2t+1\Rightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}\left( t\ne 2 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}$ trên $\left( 0;2 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-4t+3}{{{\left( t-2 \right)}^{2}}}$ ;
Phương trình ${f}'\left( t \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=3 \\
\end{aligned} \right. $. Tính $ f\left( 1 \right)=0;f\left( 3 \right)=4$
Dựa vào bảng biến thiên, để $m=f\left( t \right)$ có nghiệm khi $\left[ \begin{aligned}
& m\ge 4 \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với $m\in \left[ 0,2018 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow[{}]{{}}$ có 2016 giá trị nguyên $m$.
Đáp án B.