Cho phương trình ${{2}^{x}}=\sqrt{m{{.2}^{x}}\cos \left( \pi x...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho phương trình

2^{x} = \sqrt{m {.2}^{x} \cos (π x) - 4},

với

m

là tham số thực. Gọi

m_{0}

là giá trị của

m

sao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.

m_{0} < - 5.

B.

m_{0} > 0.

C.

m_{0} \in [- 5; - 1) .

D.

m_{0} \in [- 1; 0) .

Phương trình trở thành:

4^{x} = 2^{x} . \cos (π x) . m - 4 \Leftrightarrow 4^{x} + 4 = 2^{x} . \cos (π x) . m

(*)
Nếu

x_{0}

là nghiệm của

(*)

thì

2 - x_{0}

cũng là nghiệm của

(*) \Rightarrow x_{0} = 2 - x_{0} \Leftrightarrow x_{0} = 1

Thay

x_{0} = 1

vào phương trình

(*),

ta được

m = - 4 \in [- 5; - 1)

Thử lại với

m = - 4,

ta được

4^{x} + 4 = - {4.2}^{x} . c o s (π x) \Leftrightarrow \frac{4^{x} + 4}{{4.2}^{x}} = - \cos (π x)

(1)
Ta có

4^{x} + 4 \geq 2 \sqrt{4^{x} .4} = {4.2}^{x} \Rightarrow \frac{4^{x} + 4}{{4.2}^{x}} \geq 1

và

- \cos (π x) \in [- 1; 1]

Do đó

(1) \Leftrightarrow {\begin{aligned} 4^{x} = 4 \\ \cos (π x) = - 1 \end{aligned} \Leftrightarrow x = 1.

Vậy

m = - 4

là giá trị cần tìm.

Đáp án C.