Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{2}^{x}}=\sqrt{m{{.2}^{x}}\cos \left( \pi x \right)-4},$ với $m$ là tham số thực. Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị của $m$ sao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. ${{m}_{0}}<-5.$
B. ${{m}_{0}}>0.$
C. ${{m}_{0}}\in \left[ -5;-1 \right).$
D. ${{m}_{0}}\in \left[ -1;0 \right).$
A. ${{m}_{0}}<-5.$
B. ${{m}_{0}}>0.$
C. ${{m}_{0}}\in \left[ -5;-1 \right).$
D. ${{m}_{0}}\in \left[ -1;0 \right).$
Phương trình trở thành: ${{4}^{x}}={{2}^{x}}.\cos \left( \pi x \right).m-4\Leftrightarrow {{4}^{x}}+4={{2}^{x}}.\cos \left( \pi x \right).m$ (*)
Nếu ${{x}_{0}}$ là nghiệm của $\left( * \right)$ thì $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của $\left( * \right)\Rightarrow {{x}_{0}}=2-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1$
Thay ${{x}_{0}}=1$ vào phương trình $\left( * \right),$ ta được $m=-4\in \left[ -5;-1 \right)$
Thử lại với $m=-4,$ ta được ${{4}^{x}}+4=-{{4.2}^{x}}.cos\left( \pi x \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{4}^{x}}+4}{{{4.2}^{x}}}=-\cos \left( \pi x \right)$ (1)
Ta có ${{4}^{x}}+4\ge 2\sqrt{{{4}^{x}}.4}={{4.2}^{x}}\Rightarrow \dfrac{{{4}^{x}}+4}{{{4.2}^{x}}}\ge 1$ và $-\cos \left( \pi x \right)\in \left[ -1;1 \right]$
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{4}^{x}}=4 \\
& \cos \left( \pi x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1. $ Vậy $ m=-4$ là giá trị cần tìm.
Nếu ${{x}_{0}}$ là nghiệm của $\left( * \right)$ thì $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của $\left( * \right)\Rightarrow {{x}_{0}}=2-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1$
Thay ${{x}_{0}}=1$ vào phương trình $\left( * \right),$ ta được $m=-4\in \left[ -5;-1 \right)$
Thử lại với $m=-4,$ ta được ${{4}^{x}}+4=-{{4.2}^{x}}.cos\left( \pi x \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{4}^{x}}+4}{{{4.2}^{x}}}=-\cos \left( \pi x \right)$ (1)
Ta có ${{4}^{x}}+4\ge 2\sqrt{{{4}^{x}}.4}={{4.2}^{x}}\Rightarrow \dfrac{{{4}^{x}}+4}{{{4.2}^{x}}}\ge 1$ và $-\cos \left( \pi x \right)\in \left[ -1;1 \right]$
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{4}^{x}}=4 \\
& \cos \left( \pi x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1. $ Vậy $ m=-4$ là giá trị cần tìm.
Đáp án C.