Cho phương trình $2\sqrt{m+x}-\sqrt{m-x}=\sqrt{m-x+\sqrt{x\left(...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Cho phương trình

2 \sqrt{m + x} - \sqrt{m - x} = \sqrt{m - x + \sqrt{x (m + x)}}

(m là tham số thực) có tổng các nghiệm thực bằng

\frac{192}{205} .

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.

8 \leq m \leq 11.

B.

3 < m < 8.

C.

m \leq 3.

D.

m \geq 12.

Điều kiện

{\begin{aligned} m + x \geq 0 \\ m - x \geq 0 \\ x \geq 0 \end{aligned} \Rightarrow (m + x) + (m - x) \geq 0 \Rightarrow m \geq 0.

Ta thấy

x = 0

thỏa mãn phương trình.
Với

x > 0 \Rightarrow 2 \sqrt{\frac{m}{x} + 1} - \sqrt{\frac{m}{x} - 1} = \sqrt{\frac{m}{x} - 1 + \sqrt{\frac{m}{x} + 1}} .

Đặt

t = \frac{m}{x} \geq 0 \Rightarrow 2 \sqrt{t + 1} - \sqrt{t - 1} = \sqrt{t - 1 + \sqrt{t + 1}}

\Rightarrow 4 (t + 1) + (t - 1) - 4 \sqrt{t^{2} - 1} = t - 1 + \sqrt{t + 1}

\Rightarrow 4 (t + 1) - 4 \sqrt{(t + 1) (t - 1)} = \sqrt{t + 1}

\Rightarrow 4 \sqrt{t + 1} - 4 \sqrt{t - 1} = 1 \Rightarrow 16 (t + 1) = 16 (t - 1) + 1 + 8 \sqrt{t - 1} \Rightarrow 8 \sqrt{t - 1} = 31 \Rightarrow t = \frac{1025}{64} .

Thử lại ta thấy thỏa mãn

\Rightarrow \frac{m}{x} = \frac{1025}{64} \Rightarrow x = \frac{64 m}{1025} \Rightarrow 0 + \frac{64 m}{1025} = \frac{192}{205} \Rightarrow m = 15.

Đáp án D.