Google
Câu hỏi: Cho phương trình $2\sqrt{{{\log }_{3}}\left( 3x \right)}-3{{\log }_{3}}x=m-1$ (với m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình trên có nghiệm?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. Vô số.
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. Vô số.
Ta có phương trình $\Leftrightarrow 2\sqrt{1+{{\log }_{3}}x}-3{{\log }_{3}}x+1=m$.
Đặt $t=\sqrt{1+{{\log }_{3}}x}\Rightarrow {{\log }_{3}}x={{t}^{2}}-1\ \ \left( t\ge 0 \right)$.
Khi đó ta có: $2t-3\left( {{t}^{2}}-1 \right)+1=m\Leftrightarrow -3{{t}^{2}}+2t+4=m$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+2t+4$ với $t\ge 0$ ta có $f'\left( t \right)=-6t+2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$.
Mặt khác $f\left( 0 \right)=4,\ f\left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{13}{3},\ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $.
Dựa vào BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\le 4$.
Kết hợp điều kiện bài toán suy ra $m=\left\{ 1;2;3;4 \right\}$.
Đặt $t=\sqrt{1+{{\log }_{3}}x}\Rightarrow {{\log }_{3}}x={{t}^{2}}-1\ \ \left( t\ge 0 \right)$.
Khi đó ta có: $2t-3\left( {{t}^{2}}-1 \right)+1=m\Leftrightarrow -3{{t}^{2}}+2t+4=m$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+2t+4$ với $t\ge 0$ ta có $f'\left( t \right)=-6t+2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$.
Mặt khác $f\left( 0 \right)=4,\ f\left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{13}{3},\ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $.
Dựa vào BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\le 4$.
Kết hợp điều kiện bài toán suy ra $m=\left\{ 1;2;3;4 \right\}$.
Đáp án B.