Google
Câu hỏi: Cho phương trình $2\sqrt{{{\log }_{3}}\left( 3\text{x} \right)}-3{{\log }_{3}}x=m-1$ (với m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình trên có nghiệm
A. 3
B. 4
C. 5
D. Vô số.
A. 3
B. 4
C. 5
D. Vô số.
Ta có phương trình $\Leftrightarrow 2\sqrt{1+{{\log }_{3}}x}-3{{\log }_{3}}x+1=m$
Đặt $t=\sqrt{1+{{\log }_{3}}x}\Rightarrow {{\log }_{3}}x={{t}^{2}}-1\left( t\ge 0 \right)$
Khi đó ta có: $2t-3\left( {{t}^{2}}-1 \right)+1=m\Leftrightarrow -3{{t}^{2}}+2t+4=m$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+2t+4$ với $t\ge 0$ ta có: ${f}'\left( t \right)=-6t+2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$.
Mặt khác $f\left( 0 \right)=4,f\left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{13}{3},\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $.
Dựa vào BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\le 4$.
Kết hợp điều kiện bài toán suy ra $m=\left\{ 1;2;3;4 \right\}$.
Đặt $t=\sqrt{1+{{\log }_{3}}x}\Rightarrow {{\log }_{3}}x={{t}^{2}}-1\left( t\ge 0 \right)$
Khi đó ta có: $2t-3\left( {{t}^{2}}-1 \right)+1=m\Leftrightarrow -3{{t}^{2}}+2t+4=m$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+2t+4$ với $t\ge 0$ ta có: ${f}'\left( t \right)=-6t+2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$.
Mặt khác $f\left( 0 \right)=4,f\left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{13}{3},\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $.
Dựa vào BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\le 4$.
Kết hợp điều kiện bài toán suy ra $m=\left\{ 1;2;3;4 \right\}$.
Đáp án B.