Cho phương trình ${{2}^{m}}{{.2}^{{{\sin...

The Professor · 31/12/21

Câu hỏi: Cho phương trình

2^{m} {.2}^{\sin^{2} x} + 3. \frac{1}{9^{\cos x + 2}} + m - c o s^{2} x = {8.4}^{\cos x} + 2 (\cos x + 1) + {(\frac{1}{3})}^{m} {.3}^{c o s^{2} x - 1}

(1). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

(1)

có nghiệm thực?
A.

3

.
B.

5.

C.

7

.
D.

9

.

Ta có

p t \Leftrightarrow 2^{\sin^{2} x + m} + 3^{- 2 \cos x - 3} + m - 1 + \sin^{2} x = 2^{2 \cos x + 3} + 2 \cos x + 2 + 3^{- \sin^{2} x - m}

\Leftrightarrow 2^{\sin^{2} x + m} - 3^{- \sin^{2} x - m} + \sin^{2} x + m = 2^{2 \cos x + 3} - 3^{- 2 \cos x - 3} + 2 \cos x + 3 (2)

Đặt

{\begin{aligned} a = \sin^{2} x + m \\ b = 2 \cos x + 3 \end{aligned}

ta được phương trình:

2^{a} - 3^{- a} + a = 2^{b} - 3^{- b} + b (3)

Xét hàm số

f (t) = 2^{t} - 3^{- t} + t

Có

f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 + 3^{- t} \ln 3 + 1 > 0, \forall t

Suy ra hàm số

f (t)

luôn đồng biến trên

R

Nên

(3) \Leftrightarrow f (a) = f (b) \Leftrightarrow a = b \Leftrightarrow \sin^{2} x + m = 2 cosx + 3 \Leftrightarrow m = c o s^{2} x + 2 \cos x + 2

Đặt

u = \cos x, u \in [- 1; 1]

Xét hàm số

g (u) = u^{2} + 2 u + 2, \forall u \in [- 1; 1]

Ta có

g^{'} (u) = 2 u + 2 \geq 0, \forall u \in [- 1; 1]

nên

min_{[- 1; 1]} g (u) = g (- 1) = 1, max_{[- 1; 1]} g (u) = g (1) = 5

Do đó

y c b t \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 5 \overset{m \in Z}{\to} m \in {1; 2; 3; 4; 5}

Đáp án B.