Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{2}^{m}}{{.2}^{{{\sin }^{2}}x}}+3.\dfrac{1}{{{9}^{\cos x+2}}}+m-co{{s}^{2}}x={{8.4}^{\cos x}}+2\left( \cos x+1 \right)+{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{m}}{{.3}^{co{{s}^{2}}x-1}}$ (1). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm thực?
A. $3$.
B. $5.$
C. $7$.
D. $9$.
A. $3$.
B. $5.$
C. $7$.
D. $9$.
Ta có $pt\Leftrightarrow {{2}^{{{\sin }^{2}}x+m}}+{{3}^{-2\cos x-3}}+m-1+{{\sin }^{2}}x={{2}^{2\cos x+3}}+2\cos x+2+{{3}^{-{{\sin }^{2}}x-m}}$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{\sin }^{2}}x+m}}-{{3}^{-{{\sin }^{2}}x-m}}+{{\sin }^{2}}x+m={{2}^{2\cos x+3}}-{{3}^{-2\cos x-3}}+2\cos x+3 \left( 2 \right)$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& a={{\sin }^{2}}x+m \\
& b=2\cos x+3 \\
\end{aligned} \right. $ ta được phương trình: $ {{2}^{a}}-{{3}^{-a}}+a={{2}^{b}}-{{3}^{-b}}+b \left( 3 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}-{{3}^{-t}}+t$
Có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+{{3}^{-t}}\ln 3+1>0, \forall t$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Nên $\left( 3 \right)\Leftrightarrow f\left( a \right)=f\left( b \right)\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+m=2\operatorname{cosx}+3\Leftrightarrow m=co{{s}^{2}}x+2\cos x+2$
Đặt $u=\cos x, u\in \left[ -1;1 \right]$
Xét hàm số $g\left( u \right)={{u}^{2}}+2u+2, \forall u\in \left[ -1;1 \right]$
Ta có ${g}'\left( u \right)=2u+2\ge 0, \forall u\in \left[ -1;1 \right]$ nên $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( u \right)=g\left( -1 \right)=1, \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( u \right)=g\left( 1 \right)=5$
Do đó $ycbt\Leftrightarrow 1\le m\le 5\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{\sin }^{2}}x+m}}-{{3}^{-{{\sin }^{2}}x-m}}+{{\sin }^{2}}x+m={{2}^{2\cos x+3}}-{{3}^{-2\cos x-3}}+2\cos x+3 \left( 2 \right)$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& a={{\sin }^{2}}x+m \\
& b=2\cos x+3 \\
\end{aligned} \right. $ ta được phương trình: $ {{2}^{a}}-{{3}^{-a}}+a={{2}^{b}}-{{3}^{-b}}+b \left( 3 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}-{{3}^{-t}}+t$
Có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+{{3}^{-t}}\ln 3+1>0, \forall t$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Nên $\left( 3 \right)\Leftrightarrow f\left( a \right)=f\left( b \right)\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+m=2\operatorname{cosx}+3\Leftrightarrow m=co{{s}^{2}}x+2\cos x+2$
Đặt $u=\cos x, u\in \left[ -1;1 \right]$
Xét hàm số $g\left( u \right)={{u}^{2}}+2u+2, \forall u\in \left[ -1;1 \right]$
Ta có ${g}'\left( u \right)=2u+2\ge 0, \forall u\in \left[ -1;1 \right]$ nên $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( u \right)=g\left( -1 \right)=1, \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( u \right)=g\left( 1 \right)=5$
Do đó $ycbt\Leftrightarrow 1\le m\le 5\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$
Đáp án B.