Cho phương trình $2{{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}+1 \right)={{\log...

Đkxđ: $\left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& x\ne \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
$\begin{aligned}
& 2{{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}+1 \right)={{\log }_{3}}{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+{{\log }_{\sqrt{3}}}\left( x+1 \right) \\
& \Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}+1 \right)=2{{\log }_{3}}\left| 2x-1 \right|+2{{\log }_{3}}\left( x+1 \right) \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}+1 \right)={{\log }_{3}}\left| 2x-1 \right|.\left( x+1 \right) \\
& \Leftrightarrow \left| 2x-1 \right|.\left( x+1 \right)=\left( x+1 \right).\left( {{x}^{2}}-x+1 \right) \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \left| 2x-1 \right|={{x}^{2}}-x+1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-1={{x}^{2}}-x+1 \\
& 2x-1=-\left( {{x}^{2}}-x+1 \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-3x+2=0 \\
& {{x}^{2}}+x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=2 \\
& x=0 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
So sánh điều kiện suy ra phương trình có các nghiệm $0, 1, 2.$
Tổng các nghiệm của phương trình là $3$.