Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0$
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị $m$ nguyên để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $\!\! [ \!\!6;8]$. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập $S$.
A. $S=20$.
B. $S=28$.
C. $S=14$.
D. $S=10$.
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị $m$ nguyên để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $\!\! [ \!\!6;8]$. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập $S$.
A. $S=20$.
B. $S=28$.
C. $S=14$.
D. $S=10$.
Ta có ${{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0$
$\Leftrightarrow {{2}^{\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)={{2}^{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}.{{\log }_{3}}t$ với $t\ge 2$ ; Ta có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2.{{\log }_{3}}t+{{2}^{t}}.\dfrac{1}{t\ln 3}>0\forall t\ge 2$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right)$.
Do đó phương trình tương đương với $\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|=\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|\quad \left( 1 \right)$.
Vẽ đồ thị hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ từ đó suy ra đồ thị $\left| g\left( x \right) \right|$ và đồ thị của $\left| g\left( \left| x \right| \right) \right|$ như hình vẽ.
Từ đồ thị suy ra $\left( 1 \right)$ có $6,7,8$ nghiệm $\Leftrightarrow 0<\left| g\left( \left| m \right| \right) \right|<3$.
suy ra các giá trị nguyên của $m$ là $-3,-2,-1,0,1,2,3$.
Vậy $S=28$.
$\Leftrightarrow {{2}^{\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)={{2}^{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}.{{\log }_{3}}t$ với $t\ge 2$ ; Ta có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2.{{\log }_{3}}t+{{2}^{t}}.\dfrac{1}{t\ln 3}>0\forall t\ge 2$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right)$.
Do đó phương trình tương đương với $\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|=\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|\quad \left( 1 \right)$.
Vẽ đồ thị hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ từ đó suy ra đồ thị $\left| g\left( x \right) \right|$ và đồ thị của $\left| g\left( \left| x \right| \right) \right|$ như hình vẽ.
Từ đồ thị suy ra $\left( 1 \right)$ có $6,7,8$ nghiệm $\Leftrightarrow 0<\left| g\left( \left| m \right| \right) \right|<3$.
suy ra các giá trị nguyên của $m$ là $-3,-2,-1,0,1,2,3$.
Vậy $S=28$.
Đáp án B.