Cho phương trình ${{16}^{{{x}^{2}}}}-{{2.4}^{{{x}^{2}}+1}}+10=m$ ( $m$ là tham số). Số giá trị nguyên của $m\in \left[ -10; 10 \right]$ để phương...

Xét phương trình: ${{16}^{{{x}^{2}}}}-{{2.4}^{{{x}^{2}}+1}}+10=m$ $\left( 1 \right)$.
Đặt ${{4}^{{{x}^{2}}}}=t$, $\left( t\ge 1 \right)$ phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-8t+10=m$ $\left( 2 \right)$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng $2$ nghiệm thực phân biệt
$\Leftrightarrow $ phương trình $\left( 2 \right)$ có đúng $1$ nghiệm $t>1$.
+ Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-8t+10$, $\left( t>1 \right)$.
${f}'\left( t \right)=2t-8$, suy ra ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=4$.
+ Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Phương trình $\left( 2 \right)$ có đúng $1$ nghiệm $t>1$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& m=-6 \\
& m>3 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà theo giả thiết $m$ nguyên và $m\in \left[ -10; 10 \right]$ nên $m\in \left\{ -6; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 \right\}$.
Vậy có $8$ giá trị nguyên của $m\in \left[ -10; 10 \right]$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt.