Cho phương tình ${{3}^{x}}=\sqrt{a{{.3}^{x}}\cos \left( \pi x...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho phương tình

3^{x} = \sqrt{a {.3}^{x} \cos (π x) - 9}

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn

[- 6; 12]

để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực?
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2

Ta có

3^{x} = \sqrt{a {.3}^{x} \cos (π x) - 9} \Leftrightarrow 9^{x} = a {.3}^{x} \cos (π x) - 9 \Leftrightarrow 3^{x} + 3^{2 - x} = a . c o s (π x)

(1)
Nếu (1) có nghiệm duy nhất

x_{0}

thì ta thấy rằng

2 - x_{0}

cũng là nghiệm của (1).
Do dó

x_{0} = 2 - x_{0} \Leftrightarrow x_{0} = 1

. Thay vào (1) ta được

a = - 6

.
Với

a = - 6

thì (1) thành

3^{x} + 3^{2 - x} = - 6 \cos (π x) \Leftrightarrow 3^{x} + 3^{2 - x} + 6 \cos (π x) = 0

.
Ta có

3^{x} + 3^{2 - x} + 6 \cos (π x) \geq 2. \sqrt{3^{x} {.3}^{2 - x}} + (- 6) = 0

Dấy xảy ra

\Leftrightarrow {\begin{aligned} 3^{x} = 3^{2 - x} = 3 \\ \cos (π x) = - 1 \end{aligned} \Leftrightarrow x = 1

.
Vậy có duy nhất

a = - 6

thỏa mãn bài toán. Chọn A.

Đáp án A.