Google
Câu hỏi: Cho phương tình ${{3}^{x}}=\sqrt{a{{.3}^{x}}\cos \left( \pi x \right)-9}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn $\left[ -6;12 \right]$ để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực?
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
Ta có ${{3}^{x}}=\sqrt{a{{.3}^{x}}\cos \left( \pi x \right)-9}\Leftrightarrow {{9}^{x}}=a{{.3}^{x}}\cos \left( \pi x \right)-9\Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=a.cos\left( \pi x \right)$ (1)
Nếu (1) có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}$ thì ta thấy rằng $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của (1).
Do dó ${{x}_{0}}=2-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1$. Thay vào (1) ta được $a=-6$.
Với $a=-6$ thì (1) thành ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=-6\cos \left( \pi x \right)\Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}+6\cos \left( \pi x \right)=0$.
Ta có ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}+6\cos \left( \pi x \right)\ge 2.\sqrt{{{3}^{x}}{{.3}^{2-x}}}+\left( -6 \right)=0$
Dấy xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}={{3}^{2-x}}=3 \\
& \cos \left( \pi x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1$.
Vậy có duy nhất $a=-6$ thỏa mãn bài toán. Chọn A.
Nếu (1) có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}$ thì ta thấy rằng $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của (1).
Do dó ${{x}_{0}}=2-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1$. Thay vào (1) ta được $a=-6$.
Với $a=-6$ thì (1) thành ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}=-6\cos \left( \pi x \right)\Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}+6\cos \left( \pi x \right)=0$.
Ta có ${{3}^{x}}+{{3}^{2-x}}+6\cos \left( \pi x \right)\ge 2.\sqrt{{{3}^{x}}{{.3}^{2-x}}}+\left( -6 \right)=0$
Dấy xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}={{3}^{2-x}}=3 \\
& \cos \left( \pi x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1$.
Vậy có duy nhất $a=-6$ thỏa mãn bài toán. Chọn A.
Đáp án A.