Google
Câu hỏi: Cho Parabol (P): $y={{x}^{2}}$. Hai điểm A, B di động trên (P) sao cho AB = 2. Khi diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi (P) và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất thì hai điểm A, B có tọa độ xác định $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ và $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$. Giá trị của biểu thức $T=x_{A}^{2}x_{B}^{2}+y_{A}^{2}y_{B}^{2}$ bằng
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Do $A,B\in (P)$ nên giả sử $A(a;{{a}^{2}}),B(b;{{b}^{2}})$ với b > a.
Phương trình đường thẳng AB: $\dfrac{x-a}{b-a}=\dfrac{y-{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$
Hay $y=(a+b)x-ab$
Ta có $AB=2\Leftrightarrow {{(b-a)}^{2}}+{{({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}}=4\Leftrightarrow {{(b-a)}^{2}}[1+{{(b+a)}^{2}}]=4$
$\Leftrightarrow {{(b-a)}^{2}}=\dfrac{4}{1+{{(b+a)}^{2}}}\le 4$. Suy ra $b-a\le 2.$
Ta có $S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ \left( a+b \right)x-ab-{{x}^{2}} \right]dx}=\left. \left[ \dfrac{1}{2}(a+b){{x}^{2}}-abx-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}} \right] \right|_{a}^{b}$
$=\left[ \dfrac{1}{2}(a+b){{b}^{2}}-a{{b}^{2}}-\dfrac{1}{3}{{b}^{3}} \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(a+b){{a}^{2}}-{{a}^{2}}b-\dfrac{1}{3}{{a}^{3}} \right]=\dfrac{1}{6}{{(b-a)}^{3}}\le \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}.$
Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b-a=2 \\
& b+a=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A(-1;1),B(1;1)\Rightarrow T=2.$
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Do $A,B\in (P)$ nên giả sử $A(a;{{a}^{2}}),B(b;{{b}^{2}})$ với b > a.
Phương trình đường thẳng AB: $\dfrac{x-a}{b-a}=\dfrac{y-{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$
Hay $y=(a+b)x-ab$
Ta có $AB=2\Leftrightarrow {{(b-a)}^{2}}+{{({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}}=4\Leftrightarrow {{(b-a)}^{2}}[1+{{(b+a)}^{2}}]=4$
$\Leftrightarrow {{(b-a)}^{2}}=\dfrac{4}{1+{{(b+a)}^{2}}}\le 4$. Suy ra $b-a\le 2.$
Ta có $S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ \left( a+b \right)x-ab-{{x}^{2}} \right]dx}=\left. \left[ \dfrac{1}{2}(a+b){{x}^{2}}-abx-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}} \right] \right|_{a}^{b}$
$=\left[ \dfrac{1}{2}(a+b){{b}^{2}}-a{{b}^{2}}-\dfrac{1}{3}{{b}^{3}} \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(a+b){{a}^{2}}-{{a}^{2}}b-\dfrac{1}{3}{{a}^{3}} \right]=\dfrac{1}{6}{{(b-a)}^{3}}\le \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}.$
Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b-a=2 \\
& b+a=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A(-1;1),B(1;1)\Rightarrow T=2.$
Đáp án B.