Cho Parabol (P): $y = x^{2}$ . Hai điểm A, B di động trên (P) sao...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho Parabol (P):

y = x^{2}

. Hai điểm A, B di động trên (P) sao cho AB = 2. Khi diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi (P) và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất thì hai điểm A, B có tọa độ xác định

A (x_{A}; y_{A})

và

B (x_{B}; y_{B})

. Giá trị của biểu thức

T = x_{A}^{2} x_{B}^{2} + y_{A}^{2} y_{B}^{2}

bằng

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.

Do

A, B \in (P)

nên giả sử

A (a; a^{2}), B (b; b^{2})

với b > a.
Phương trình đường thẳng AB:

\frac{x - a}{b - a} = \frac{y - a^{2}}{b^{2} - a^{2}}

Hay

y = (a + b) x - a b

Ta có

A B = 2 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} [1 + {(b + a)}^{2}] = 4

\Leftrightarrow {(b - a)}^{2} = \frac{4}{1 + {(b + a)}^{2}} \leq 4

. Suy ra

b - a \leq 2.

Ta có

S = \int_{a}^{b} [(a + b) x - a b - x^{2}] d x = {[\frac{1}{2} (a + b) x^{2} - a b x - \frac{1}{3} x^{3}] |}_{a}^{b}

= [\frac{1}{2} (a + b) b^{2} - a b^{2} - \frac{1}{3} b^{3}] - [\frac{1}{2} (a + b) a^{2} - a^{2} b - \frac{1}{3} a^{3}] = \frac{1}{6} {(b - a)}^{3} \leq \frac{8}{6} = \frac{4}{3} .

Dấu " = " xảy ra

\Leftrightarrow {\begin{aligned} b - a = 2 \\ b + a = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = - 1 \\ b = 1 \end{aligned} \Rightarrow A (- 1; 1), B (1; 1) \Rightarrow T = 2.

Đáp án B.

Cho Parabol (P): $y = x^{2}$ . Hai điểm A, B di động trên (P) sao...

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page

Cho Parabol (P): y=x2. Hai điểm A, B di động trên (P) sao...

Quảng cáo

Cho Parabol (P): $y = x^{2}$ . Hai điểm A, B di động trên (P) sao...