Google
Câu hỏi: Cho Parabol $\left( P \right): y={{x}^{2}}$ và hai điểm $A,B$ thuộc $\left( P \right)$ sao cho $AB=2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất bằng?
A. $\dfrac{2}{3}$
B. $\dfrac{3}{4}$
C. $\dfrac{4}{3}$
D. $\dfrac{3}{2}$
A. $\dfrac{2}{3}$
B. $\dfrac{3}{4}$
C. $\dfrac{4}{3}$
D. $\dfrac{3}{2}$
Cách 1: Gọi $A\left( a;{{a}^{2}} \right)$, $B\left( b;{{b}^{2}} \right)$ với $a<b$. Ta có $AB=2$ $\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}+{{\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}=4$
$AB:\dfrac{x-a}{b-a}=\dfrac{y-{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{x-a}{1}=\dfrac{y-{{a}^{2}}}{b+a}$ $\Leftrightarrow y=\left( a+b \right)\left( x-a \right)+{{a}^{2}}$ $\Leftrightarrow y=\left( a+b \right)x-ab$
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left( \left( a+b \right)x-ab-{{x}^{2}} \right)dx}$ $=\int\limits_{a}^{b}{\left( x-a \right)\left( b-x \right)dx}$.
Đặt $t=x-a$. Suy ra $S=\int\limits_{0}^{b-a}{t\left( b-a-t \right)dt}$ $=\int\limits_{0}^{b-a}{\left( t\left( b-a \right)-{{t}^{2}} \right)dt}$ $=\left. \dfrac{\left( b-a \right){{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{b-a}-\left. \dfrac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{b-a}$ $=\dfrac{{{\left( b-a \right)}^{3}}}{6}$.
Ta có ${{\left( b-a \right)}^{2}}+{{\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}\left( 1+{{\left( b+a \right)}^{2}} \right)=4$ $\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}=\dfrac{4}{1+{{\left( b+a \right)}^{2}}}\le 4$
Suy ra $b-a\le 2$ $\Rightarrow S=\dfrac{{{\left( b-a \right)}^{3}}}{6}\le \dfrac{{{2}^{3}}}{6}=\dfrac{4}{3}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& a+b=0 \\
& b-a=2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=1 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow A\left( -1;1 \right),B\left( 1;1 \right)$.
Cách 2: Sử dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c$ và trục hoành $y=0$ là ${{S}^{2}}=\dfrac{{{\Delta }^{3}}}{36{{a}^{4}}},\Delta ={{b}^{2}}-4ac\left( 1 \right)$.
Tổng quát với $\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c$ và $\left( d \right):y=mx+n$ thì ta lập phương trình hoành độ giao điểm $a{{x}^{2}}+bx+c=mx+n$ $\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+\left( b-m \right)x+c-n=0$.
Áp dụng ${{S}^{2}}=\dfrac{{{\Delta }^{3}}}{36{{a}^{4}}},\Delta ={{\left( b-m \right)}^{2}}-4a\left( c-n \right)$.
$AB:\dfrac{x-a}{b-a}=\dfrac{y-{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{x-a}{1}=\dfrac{y-{{a}^{2}}}{b+a}$ $\Leftrightarrow y=\left( a+b \right)\left( x-a \right)+{{a}^{2}}$ $\Leftrightarrow y=\left( a+b \right)x-ab$
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left( \left( a+b \right)x-ab-{{x}^{2}} \right)dx}$ $=\int\limits_{a}^{b}{\left( x-a \right)\left( b-x \right)dx}$.
Đặt $t=x-a$. Suy ra $S=\int\limits_{0}^{b-a}{t\left( b-a-t \right)dt}$ $=\int\limits_{0}^{b-a}{\left( t\left( b-a \right)-{{t}^{2}} \right)dt}$ $=\left. \dfrac{\left( b-a \right){{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{b-a}-\left. \dfrac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{b-a}$ $=\dfrac{{{\left( b-a \right)}^{3}}}{6}$.
Ta có ${{\left( b-a \right)}^{2}}+{{\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}\left( 1+{{\left( b+a \right)}^{2}} \right)=4$ $\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}=\dfrac{4}{1+{{\left( b+a \right)}^{2}}}\le 4$
Suy ra $b-a\le 2$ $\Rightarrow S=\dfrac{{{\left( b-a \right)}^{3}}}{6}\le \dfrac{{{2}^{3}}}{6}=\dfrac{4}{3}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& a+b=0 \\
& b-a=2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=1 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow A\left( -1;1 \right),B\left( 1;1 \right)$.
Cách 2: Sử dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c$ và trục hoành $y=0$ là ${{S}^{2}}=\dfrac{{{\Delta }^{3}}}{36{{a}^{4}}},\Delta ={{b}^{2}}-4ac\left( 1 \right)$.
Tổng quát với $\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c$ và $\left( d \right):y=mx+n$ thì ta lập phương trình hoành độ giao điểm $a{{x}^{2}}+bx+c=mx+n$ $\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+\left( b-m \right)x+c-n=0$.
Áp dụng ${{S}^{2}}=\dfrac{{{\Delta }^{3}}}{36{{a}^{4}}},\Delta ={{\left( b-m \right)}^{2}}-4a\left( c-n \right)$.
Đáp án C.