Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và hai điểm $A, B$ thuộc...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho parabol

(P) : y = x^{2}

và hai điểm

A, B

thuộc

(P)

sao cho

A B = 2

. Tìm diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi

(P)

và đường thẳng

A B

.
A.

\frac{4}{3}

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{2}{3}

D.

\frac{3}{2}

Gọi

A (a; a^{2}), B (b; b^{2})

với

a < b

. Ta có

A B = 2 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4

.

\begin{aligned} A B : \frac{x - a}{b - a} = \frac{y - a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \Leftrightarrow \frac{x - a}{1} = \frac{y - a^{2}}{b + a} \Leftrightarrow y = (a + b) (x - a) + a^{2} \Leftrightarrow y = (a + b) x - a b \\ S = \int_{a}^{b} ((a + b) x - a b - x^{2}) d x = \int_{a}^{b} (x - a) (b - x) d x \end{aligned}

.
Đặt

t = x - a

.
Suy ra

S = \int_{0}^{b - a} t (b - a - t) d t = \int_{0}^{b - a} ((b - a) t - t^{2}) d t = \frac{(b - a) t^{2}}{2} |_{0}^{b - a} - \frac{t^{3}}{3} |_{0}^{b - a} = \frac{{(b - a)}^{3}}{6}

Ta có:

{(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} (1 + {(b + a)}^{2}) = 4 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} = \frac{4}{1 + {(a + b)}^{2}} \leq 4

.
Suy ra

b - a \leq 2 \Rightarrow S = \frac{{(b - a)}^{3}}{6} \leq \frac{2^{3}}{6} = \frac{4}{3}

.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

\begin{aligned} {\begin{aligned} a + b = 0 \\ b - a = 2 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} b = 1 \\ a = - 1 \end{aligned} \Leftrightarrow A (- 1; 1), B (1; 1) \end{aligned}

.

Đáp án A.

Cho parabol (P):y=x2 và hai điểm A,B thuộc...