Cho Parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}$ và đường tròn $\left( C...

Phương trình $\left( C \right)$ : ${{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5$.
Tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( C \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5 \\
& y={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5 \\
& y={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& y=1 \\
& y=4 \\
\end{aligned} \right. \\
& y={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& y=4 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& y=4 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $. Vậy tọa độ các giao điểm là $ \left( 1 ; 1 \right) $, $ \left( -1 ; 1 \right) $, $ \left( -2 ; 4 \right) $, $ \left( 2 ; 4 \right)$.

Ta có: $S=2\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \right)$.
Tính ${{S}_{1}}$ : ${{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5 (C) \Rightarrow y=3-\sqrt{5-{{x}^{2}}}$ $\Rightarrow {{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left[ \left( 3-\sqrt{5-{{x}^{2}}} \right)-{{x}^{2}} \right]}\text{d}x\approx 0,5075$.
Tính ${{S}_{2}}$ : $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5 (C) \Rightarrow x=\sqrt{5-{{\left( y-3 \right)}^{2}}} \\
& y={{x}^{2}} \Rightarrow x=\sqrt{y} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{4}{\left[ \sqrt{5-{{\left( y-3 \right)}^{2}}}-\sqrt{y} \right]}\text{d}y\approx 1,26$.
Vậy $S=2\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \right)\approx 3,54$.