Google
Câu hỏi: Cho parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}$, điểm $A\left( 0;2 \right)$. Một đường thẳng đi qua A cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm B, C sao cho $AC=2AB$ như hình vẽ bên. Gọi $\left( H \right)$ là hình giới hạn bởi $\left( P \right)$ và đường thẳng AB. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục hoành bằng
A. $\dfrac{138}{5}\pi $.
B. $\dfrac{72}{5}\pi $.
C. $\dfrac{12}{5}\pi $.
D. $\dfrac{78}{5}\pi $.
A. $\dfrac{138}{5}\pi $.
B. $\dfrac{72}{5}\pi $.
C. $\dfrac{12}{5}\pi $.
D. $\dfrac{78}{5}\pi $.
Đường thẳng đi qua điểm A có phương trình là $y=kx+2,\left( k>0 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và đường thẳng là: ${{x}^{2}}=kx+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-kx-2=0$.
Giả sử $B\left( {{x}_{1}};x_{1}^{2} \right);C\left( {{x}_{2}};x_{2}^{2} \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=k \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$.
Từ giả thiết: $AC=2AB\Rightarrow {{x}_{2}}=-2{{x}_{1}}$ thay vào (1) ta được $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=-1 \\
& {{x}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k=1$.
Do đó $V=\pi \int\limits_{-1}^{3}{\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}}-{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}} \right]dx}=\dfrac{72}{5}\pi $.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và đường thẳng là: ${{x}^{2}}=kx+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-kx-2=0$.
Giả sử $B\left( {{x}_{1}};x_{1}^{2} \right);C\left( {{x}_{2}};x_{2}^{2} \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=k \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$.
Từ giả thiết: $AC=2AB\Rightarrow {{x}_{2}}=-2{{x}_{1}}$ thay vào (1) ta được $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=-1 \\
& {{x}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k=1$.
Do đó $V=\pi \int\limits_{-1}^{3}{\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}}-{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}} \right]dx}=\dfrac{72}{5}\pi $.
Đáp án B.