Google
Câu hỏi: Cho parabol $\left( P \right):y=-{{x}^{2}}+2x,$ có đỉnh S và A là giao điểm khác O của (P) và trục hoành. M là điểm di động trên cung nhỏ SA, tiếp tuyến của (P) tại M cắt Ox, Oy tại E, F. Khi đó, tổng diện tích 2 tam giác cong MOF và MAE có giá trị nhỏ nhất bằng
A. $\dfrac{23}{24}.$
B. $\dfrac{13}{14}.$
C. $\dfrac{32}{33}.$
D. $\dfrac{28}{27}.$
A. $\dfrac{23}{24}.$
B. $\dfrac{13}{14}.$
C. $\dfrac{32}{33}.$
D. $\dfrac{28}{27}.$
Ta có $S\left( 1;1 \right),A\left( 2;0 \right)$
${y}'=-2x+2$
Tiếp tuyến tại $M\left( m;2m-{{m}^{2}} \right),1\le m\le 2$ có phương trình
$y=\left( 2-2m \right)\left( x-m \right)+2m-{{m}^{2}}\Leftrightarrow y=\left( 2-2m \right)x+{{m}^{2}}$
+, Với $m=1$ ta có $M\left( 1;1 \right)\equiv S\Rightarrow $ Không tồn tại điểm $F\Rightarrow m=1$ không thỏa mãn.
+, Với $1<m\le 2$ ta có $E\left( 0;{{m}^{2}} \right);F\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{2m-2};0 \right)$
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành $S=\int\limits_{0}^{2}{\left| -{{x}^{2}}+2x \right|dx}=\dfrac{4}{3}.$
Ta có ${{S}_{OEF}}=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{{{m}^{4}}}{2m-2} \right|=\dfrac{{{m}^{4}}}{4\left( m-1 \right)}$
Ta thấy ${{S}_{MOF}}+{{S}_{MAE}}={{S}_{OEF}}-S,\left( {{S}_{MOF}}+{{S}_{MAE}} \right)\min \Leftrightarrow \left( {{S}_{OEF}} \right)\min $
Ta có $\underset{m\in \left( 1;2 \right]}{\mathop{min}} \dfrac{{{m}^{4}}}{4\left( m-1 \right)}=\dfrac{64}{27}\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow \left( {{S}_{MOF}}+{{S}_{MAE}} \right)\min =\dfrac{64}{27}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{28}{27}$ khi $m=\dfrac{4}{3}.$
${y}'=-2x+2$
Tiếp tuyến tại $M\left( m;2m-{{m}^{2}} \right),1\le m\le 2$ có phương trình
$y=\left( 2-2m \right)\left( x-m \right)+2m-{{m}^{2}}\Leftrightarrow y=\left( 2-2m \right)x+{{m}^{2}}$
+, Với $m=1$ ta có $M\left( 1;1 \right)\equiv S\Rightarrow $ Không tồn tại điểm $F\Rightarrow m=1$ không thỏa mãn.
+, Với $1<m\le 2$ ta có $E\left( 0;{{m}^{2}} \right);F\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{2m-2};0 \right)$
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành $S=\int\limits_{0}^{2}{\left| -{{x}^{2}}+2x \right|dx}=\dfrac{4}{3}.$
Ta có ${{S}_{OEF}}=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{{{m}^{4}}}{2m-2} \right|=\dfrac{{{m}^{4}}}{4\left( m-1 \right)}$
Ta thấy ${{S}_{MOF}}+{{S}_{MAE}}={{S}_{OEF}}-S,\left( {{S}_{MOF}}+{{S}_{MAE}} \right)\min \Leftrightarrow \left( {{S}_{OEF}} \right)\min $
Ta có $\underset{m\in \left( 1;2 \right]}{\mathop{min}} \dfrac{{{m}^{4}}}{4\left( m-1 \right)}=\dfrac{64}{27}\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow \left( {{S}_{MOF}}+{{S}_{MAE}} \right)\min =\dfrac{64}{27}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{28}{27}$ khi $m=\dfrac{4}{3}.$
Đáp án D.