Google
Câu hỏi: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $5C_{n}^{1}-C_{n}^{2}=5$. Hệ số a của ${{x}^{4}}$ trong khai triển của biểu thức ${{\left( 2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{n}}$ là
A. $a=11520$.
B. $a=256$.
C. $a=45$.
D. $a=3360$.
A. $a=11520$.
B. $a=256$.
C. $a=45$.
D. $a=3360$.
Điều kiện $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$.
Ta có $5C_{n}^{1}-C_{n}^{2}=5\Rightarrow 5n-\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}=5\Leftrightarrow {{n}^{2}}-11n+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=1 \\
& n=10 \\
\end{aligned} \right.$
Do $n\ge 2\Rightarrow n=10$
Xét khai triển ${{\left( 2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{\left( 2x \right)}^{10-k}}.{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{\left( 2x \right)}^{10-k}}{{x}^{10-3k}}}$.
Hệ số a của ${{x}^{4}}$ trong khai triển tương ứng với $10-3k=4\Leftrightarrow k=2$.
Vậy hệ số cần tìm là $a=C_{10}^{2}{{.2}^{8}}=11520$.
Ta có $5C_{n}^{1}-C_{n}^{2}=5\Rightarrow 5n-\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}=5\Leftrightarrow {{n}^{2}}-11n+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=1 \\
& n=10 \\
\end{aligned} \right.$
Do $n\ge 2\Rightarrow n=10$
Xét khai triển ${{\left( 2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{\left( 2x \right)}^{10-k}}.{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{\left( 2x \right)}^{10-k}}{{x}^{10-3k}}}$.
Hệ số a của ${{x}^{4}}$ trong khai triển tương ứng với $10-3k=4\Leftrightarrow k=2$.
Vậy hệ số cần tìm là $a=C_{10}^{2}{{.2}^{8}}=11520$.
Đáp án A.