Google
Câu hỏi: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính $50\ \text{cm}$. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là:
A. $10\sqrt{2}\left( \text{cm} \right)$.
B. $50\sqrt{2}\left( \text{cm} \right)$.
C. $20\left( \text{cm} \right)$.
D. $25\left( \text{cm} \right)$.
A. $10\sqrt{2}\left( \text{cm} \right)$.
B. $50\sqrt{2}\left( \text{cm} \right)$.
C. $20\left( \text{cm} \right)$.
D. $25\left( \text{cm} \right)$.
Ta có diện tích miếng tôn là $S=\pi .2500\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{2}}} \right)$.
Diện tích toàn phần của hình nón là: ${{S}_{tp}}=\pi {{R}^{2}}+\pi .R.l$.
Thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có: $\pi {{R}^{2}}+\pi .R.l=2500\pi $ $\Leftrightarrow {{R}^{2}}+R.l=2500=A$ $\Leftrightarrow l=\dfrac{A}{R}-R$.
Thể tích khối nón là:
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.h$ $\Leftrightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}$ $\Leftrightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\sqrt{{{\left( \dfrac{A}{R}-R \right)}^{2}}-{{R}^{2}}}$
$\Leftrightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\sqrt{\dfrac{{{A}^{2}}}{{{R}^{2}}}-2A}$ $\Leftrightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi .\sqrt{{{A}^{2}}.{{R}^{2}}-2A.{{R}^{4}}}$ $\Leftrightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi .\sqrt{\dfrac{{{A}^{3}}}{8}-2A{{\left( {{R}^{2}}-\dfrac{A}{4} \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow V\le \dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{A}{2}\sqrt{\dfrac{A}{2}}$. Dấu bằng xảy ra khi $R=\sqrt{\dfrac{A}{4}}=25$, vậy $V$ đạt GTLN khi $R=25$.
Diện tích toàn phần của hình nón là: ${{S}_{tp}}=\pi {{R}^{2}}+\pi .R.l$.
Thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có: $\pi {{R}^{2}}+\pi .R.l=2500\pi $ $\Leftrightarrow {{R}^{2}}+R.l=2500=A$ $\Leftrightarrow l=\dfrac{A}{R}-R$.
Thể tích khối nón là:
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.h$ $\Leftrightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}$ $\Leftrightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\sqrt{{{\left( \dfrac{A}{R}-R \right)}^{2}}-{{R}^{2}}}$
$\Leftrightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\sqrt{\dfrac{{{A}^{2}}}{{{R}^{2}}}-2A}$ $\Leftrightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi .\sqrt{{{A}^{2}}.{{R}^{2}}-2A.{{R}^{4}}}$ $\Leftrightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi .\sqrt{\dfrac{{{A}^{3}}}{8}-2A{{\left( {{R}^{2}}-\dfrac{A}{4} \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow V\le \dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{A}{2}\sqrt{\dfrac{A}{2}}$. Dấu bằng xảy ra khi $R=\sqrt{\dfrac{A}{4}}=25$, vậy $V$ đạt GTLN khi $R=25$.
Đáp án D.