Google
Câu hỏi: Cho một hình trụ tròn xoay và một hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ đã cho. Mặt phẳng $(ABC\text{D})$ tạo với mặt phẳng chứa đáy của hình trụ một góc $45{}^\circ $. Thể tích của khối trụ tương ứng bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{16}$
B. $\dfrac{3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{8}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{16}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{8}$
Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và độ dài chiều cao của hình trụ.
Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và CD, còn ${D}'$ là hình chiếu vuông góc của D trên $(O)$.
Ta có $\left( (ABC\text{D}),(OAB) \right)=(IH,OH)=\widehat{IHO}$.
Theo giả thiết ta có $\widehat{IHO}=45{}^\circ $.
Do đó $h=IH.\sin IHO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta có $AB\bot A\text{D},{D}'D\bot AB$ nên $AB\bot {D}'A$ hay ${D}'B$ là đường kính của $(O)$.
Lại có ${D}'{{A}^{2}}=D{{A}^{2}}-{D}'{{D}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$ nên ${D}'{{B}^{2}}={D}'{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}=\dfrac{3}{2}{{a}^{2}}$.
Suy ra $2\text{r}={D}'B=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$ hay $r=\dfrac{\sqrt{6}a}{4}$.
Thể tích khối trụ tương ứng là $V=\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{16}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{16}$
B. $\dfrac{3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{8}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{16}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{8}$
Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và độ dài chiều cao của hình trụ.
Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và CD, còn ${D}'$ là hình chiếu vuông góc của D trên $(O)$.
Ta có $\left( (ABC\text{D}),(OAB) \right)=(IH,OH)=\widehat{IHO}$.
Theo giả thiết ta có $\widehat{IHO}=45{}^\circ $.
Do đó $h=IH.\sin IHO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta có $AB\bot A\text{D},{D}'D\bot AB$ nên $AB\bot {D}'A$ hay ${D}'B$ là đường kính của $(O)$.
Lại có ${D}'{{A}^{2}}=D{{A}^{2}}-{D}'{{D}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$ nên ${D}'{{B}^{2}}={D}'{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}=\dfrac{3}{2}{{a}^{2}}$.
Suy ra $2\text{r}={D}'B=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$ hay $r=\dfrac{\sqrt{6}a}{4}$.
Thể tích khối trụ tương ứng là $V=\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{16}$.
Đáp án A.