Google
Câu hỏi: Cho một hình nón đỉnh $S$ có chiều cao $h=a$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $S$ cắt đường tròn đáy của hình nón tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=2\sqrt{3}a$. Tính thể tích của khối nón tạo bởi hình nón trên biết khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến $\left( P \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}$.
A. $V=\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{2}{3}\pi {{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{1}{3}\pi {{a}^{3}}$.
D. $V=\pi {{a}^{3}}$.
Gọi $O$ là tâm của đường tròn đáy. $I$ là trung điểm của $AB$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SI$ $\Rightarrow OH\bot SI$.
$\left. \begin{matrix}
AB\bot OI \\
AB\bot SO \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( SOI \right)\Rightarrow AB\bot OH$.
Ta có $OH\bot SI,OH\bot AB\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)$.
$\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=OH=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}$.
Áp dụng công thức $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{\sqrt{2}a}{2} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}$
$=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OI=a$.
$OB=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2a$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{B}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi .4{{a}^{2}}.a=\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}$.
A. $V=\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{2}{3}\pi {{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{1}{3}\pi {{a}^{3}}$.
D. $V=\pi {{a}^{3}}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SI$ $\Rightarrow OH\bot SI$.
$\left. \begin{matrix}
AB\bot OI \\
AB\bot SO \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( SOI \right)\Rightarrow AB\bot OH$.
Ta có $OH\bot SI,OH\bot AB\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)$.
$\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=OH=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}$.
Áp dụng công thức $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{\sqrt{2}a}{2} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}$
$=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OI=a$.
$OB=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2a$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{B}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi .4{{a}^{2}}.a=\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án A.