Cho một đa giác đều $\left( H \right)$ có 15 đỉnh. Người ta lập...

Gọi các đỉnh của đa giác là ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$,..., ${{A}_{15}}$.
Để chọn được một tứ giác thoả mãn ta thực hiện qua các công đoạn:
Chọn một đỉnh có 15 cách, giả sử là 4.
Ta tìm số cách chọn ba đỉnh còn lại, tức ba đỉnh ${{A}_{i}}$, ${{A}_{j}}$, ${{A}_{k}}$ và giữa ${{A}_{1}}$, ${{A}_{i}}$ có ${{x}_{1}}$ đỉnh; giữa ${{A}_{i}}$, ${{A}_{j}}$ có ${{x}_{2}}$ đỉnh; giữa ${{A}_{j}}$, ${{A}_{k}}$ có ${{x}_{3}}$ đỉnh và giữa ${{A}_{k}}$, ${{A}_{1}}$ có ${{x}_{4}}$ đỉnh, theo giả thiết có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=15-4=11 \\
& {{x}_{m}}\ge 1,m=\overline{1,4} \\
\end{aligned} \right.$
Số cách chọn ra ba đỉnh này bằng số nghiệm tự nhiên của phương trình
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=11$ và bằng $C_{11-1}^{4-1}=C_{10}^{3}$.
Vậy số các tứ giác có thể bằng $15C_{10}^{3}$, tuy nhiên vì vai trò bốn đỉnh như nhau nên mỗi đa giác được tính 4 lần, do đó số tứ giác bằng $\dfrac{15C_{10}^{3}}{4}=450$.
Tổng quát: Đa giác có n đỉnh, số tứ giác lập thành từ 4 đỉnh không có cạnh của đa giác là: $\dfrac{n}{4}.C_{n-5}^{3}$.