Cho mặt phẳng $(P):x-y-z-1=0$ và hai điểm $A(-5;1;2),B(1;-2;2)$...

Xét điểm $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ (*) $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{I}}=\dfrac{{{x}_{A}}+2{{\text{x}}_{B}}}{1+2}=-1 \\
& {{y}_{I}}=\dfrac{{{y}_{A}}+2{{y}_{B}}}{1+2}=-1 \\
& {{z}_{I}}=\dfrac{{{z}_{A}}+2{{\text{z}}_{B}}}{1+2}=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I(-1;-1;2)$.
Khi đó $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|=\left| \left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)+2\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right) \right|\overset{(*)}{\mathop{=}} \left| 3\overrightarrow{MI} \right|=3MI$.
Suy ra: ${{\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|}_{\min }}=3M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow $ M là hình chiếu vuông góc của I trên (P).
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=-1-t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$ (2*)
Thay (2*) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:
$-1+t-(-1-t)-(2-t)-1=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(0;-2;1)\Rightarrow {{y}_{M}}=-2$.
Chú ý: Công thức xác định nhanh tọa độ điểm I:
$\sum{{{k}_{i}}\overrightarrow{I{{A}_{i}}}}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{\sum{{{k}_{i}}}}.\sum{{{k}_{i}}.\overrightarrow{O{{A}_{i}}}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{I}}=\dfrac{1}{\sum{{{k}_{i}}}}.\sum{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\
& {{y}_{I}}=\dfrac{1}{\sum{{{k}_{i}}}}.\sum{{{k}_{i}}{{y}_{i}}} \\
& {{z}_{I}}=\dfrac{1}{\sum{{{k}_{i}}}}.\sum{{{k}_{i}}{{z}_{i}}} \\
\end{aligned} \right.$.