Cho mặt phẳng $(P):x-y-z-1=0$ và hai điểm $A(-5;1;2),B(1;-2;2)$...

Xét điểm $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ (*) $\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& x_I={\displaystyle \frac{x_A+2{\text{x}}_B}{1+2}}=-1\\ & y_I={\displaystyle \frac{y_A+2y_B}{1+2}}=-1\\ & z_I={\displaystyle \frac{z_A+2{\text{z}}_B}{1+2}}=2\end{array}\Rightarrow I(-1;-1;2)$.
Khi đó $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|=|(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})|\stackrel{(\ast )}{=}\left|3\overrightarrow{MI}\right|=3MI$.
Suy ra: ${|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|}_{min}=3M{I}_{min}\iff$ M là hình chiếu vuông góc của I trên (P).
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có phương trình: $\{\begin{array}{rl}& x=-1+t\\ & y=-1-t\\ & z=2-t\end{array}$ (2*)
Thay (2*) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:
$-1+t-(-1-t)-(2-t)-1=0\iff t=1\Rightarrow M(0;-2;1)\Rightarrow y_M=-2$.
Chú ý: Công thức xác định nhanh tọa độ điểm I:
$\sum k_i\overrightarrow{I{A}_i}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{OI}={\displaystyle \frac{1}{\sum k_i}}.\sum k_i.\overrightarrow{O{A}_i}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& x_I={\displaystyle \frac{1}{\sum k_i}}.\sum k_i{x}_i\\ & y_I={\displaystyle \frac{1}{\sum k_i}}.\sum k_i{y}_i\\ & z_I={\displaystyle \frac{1}{\sum k_i}}.\sum k_i{z}_i\end{array}$.