Google
Câu hỏi: Cho mặt phẳng (P) có phương trình:
$\left( 2{{m}^{2}}+m+3 \right)x+\left( 2{{m}^{2}}+m-3 \right)y+\left( -2{{m}^{2}}-m+3 \right)z+2{{m}^{2}}+m+9=0$. Biết rằng (P) luôn chứa một đường thẳng $\Delta $ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng $\Delta $ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
B. 3
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{4}$
D. $\dfrac{3}{5}$
$\left( 2{{m}^{2}}+m+3 \right)x+\left( 2{{m}^{2}}+m-3 \right)y+\left( -2{{m}^{2}}-m+3 \right)z+2{{m}^{2}}+m+9=0$. Biết rằng (P) luôn chứa một đường thẳng $\Delta $ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng $\Delta $ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
B. 3
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{4}$
D. $\dfrac{3}{5}$
Ta có $\left( 2{{m}^{2}}+m+3 \right)x+\left( 2{{m}^{2}}+m-3 \right)y+\left( -2{{m}^{2}}-m+3 \right)z+2{{m}^{2}}+m+9=0,\forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}\left( x+y-z+1 \right)+m\left( x+y-z+1 \right)+3\left( x-y+z+3 \right)=0, \forall m\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow \Delta =\left( Q \right)\cap \left( R \right)$ với $\left( Q \right):x+y-z+1=0; \left( R \right):x-y+z+3=0$
Ta có $A\left( -2;1;0 \right); B\left( -2;2;1 \right)\in \left( P \right) v\grave{a} \left( Q \right)\Rightarrow A,B\in \Delta $
Đường thẳng $\Delta $ qua $A\left( -2;1;0 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AB}\left( 0;1;1 \right)$ là một vectơ chỉ phương có phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& y=1+t\left( t\in \mathbb{R} \right) \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( O;\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{AB} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}\left( x+y-z+1 \right)+m\left( x+y-z+1 \right)+3\left( x-y+z+3 \right)=0, \forall m\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow \Delta =\left( Q \right)\cap \left( R \right)$ với $\left( Q \right):x+y-z+1=0; \left( R \right):x-y+z+3=0$
Ta có $A\left( -2;1;0 \right); B\left( -2;2;1 \right)\in \left( P \right) v\grave{a} \left( Q \right)\Rightarrow A,B\in \Delta $
Đường thẳng $\Delta $ qua $A\left( -2;1;0 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AB}\left( 0;1;1 \right)$ là một vectơ chỉ phương có phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& y=1+t\left( t\in \mathbb{R} \right) \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( O;\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{AB} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Đáp án A.