Google
Câu hỏi: Cho mặt phẳng $\left( Q \right):x-y+2z-2=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$, đồng thời cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N sao cho $MN=2\sqrt{2}$.
A. $\left( P \right):x-y+2z+2=0.$
B. $\left( P \right):x-y+2z=0.$
C. $\left( P \right):x-y+2z\pm 2=0.$
D. $\left( P \right):x-y+2z-2=0.$
A. $\left( P \right):x-y+2z+2=0.$
B. $\left( P \right):x-y+2z=0.$
C. $\left( P \right):x-y+2z\pm 2=0.$
D. $\left( P \right):x-y+2z-2=0.$
Vì $\left( P \right)//\left( Q \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x-y+2z+d=0\ \left( d\ne -2 \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;-1;2 \right)$.
Vì $M\in Ox,N\in Oy$ nên $M\left( {{x}_{M}};0;0 \right),N\left( 0;{{y}_{N}};0 \right)$ mà $M,N\in \left( P \right)$ nên ta có ${{x}_{M}}+d=0\Leftrightarrow {{x}_{M}}=-d$ và $-{{y}_{N}}+d=0\Leftrightarrow d={{y}_{N}}$.
Hay $M\left( -d;0;0 \right),N\left( 0;d;0 \right)\Rightarrow OM=\left| d \right|;ON=\left| d \right|$.
Lại có tam giác OMN vuông tại O nên $M{{N}^{2}}=O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}\Leftrightarrow 2{{d}^{2}}=8\Leftrightarrow {{d}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& d=2\left( tm \right) \\
& d=-2\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x-y+2z+2=0$.
Vì $M\in Ox,N\in Oy$ nên $M\left( {{x}_{M}};0;0 \right),N\left( 0;{{y}_{N}};0 \right)$ mà $M,N\in \left( P \right)$ nên ta có ${{x}_{M}}+d=0\Leftrightarrow {{x}_{M}}=-d$ và $-{{y}_{N}}+d=0\Leftrightarrow d={{y}_{N}}$.
Hay $M\left( -d;0;0 \right),N\left( 0;d;0 \right)\Rightarrow OM=\left| d \right|;ON=\left| d \right|$.
Lại có tam giác OMN vuông tại O nên $M{{N}^{2}}=O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}\Leftrightarrow 2{{d}^{2}}=8\Leftrightarrow {{d}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& d=2\left( tm \right) \\
& d=-2\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x-y+2z+2=0$.
Đáp án A.