Google
Câu hỏi: Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua hai điểm M( 4;0;0 ) ; N( 0;0;3 ) sao cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tạo với mặt phẳng ( Oyz) một góc bằng ${{60}^{0}}$. Tính khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
A. 1
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
D. 2
A. 1
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
D. 2
Phương pháp:
- Gọi VTPT của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\vec{n}(a,b,c)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)$
- Sử dụng công thức: $\cos ((P);(Q))=\dfrac{|\overrightarrow{{{n}_{p}}}\cdot \overrightarrow{{{n}_{p}}}|}{\left| {{n}_{p}} \right|\left| {{n}_{p}} \right|}$
- Vì $MN\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=~0.~$
- Rút 2 trong 3 ẩn a, b, ctheo ẩn còn lại, từ đó suy ra VTPT của $\left( \alpha \right)$.
- Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua Mvà có VTPT $\overrightarrow{n}\left( a;b;c~ \right)$ có phương trình:
$a\left( x-{{x}_{M}} \right)+b\left( y-{{y}_{M}} \right)+c\left( z-{{z}_{M}} \right)=0$
- Khoảng cách từ điểm $O\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến $\left( \alpha \right):Ax+By+Cz+D=0$ là:
$d\left( O;(\alpha ) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$
Cách giải:
Gọi VTPT của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow{n}(a;b;c)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)$
Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tạo với mặt phẳng ( Oyz) có VTPT $\overrightarrow{i~}\left( 1;0;0 \right)~$ một góc ${{60}^{0}}$ nên ta có :
$\cos {{60}^{0}}=\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=2a$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}\left( 1 \right)$
Mặt khác $MN\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=~0$ $\overrightarrow{MN}\left( -4;0;3 \right)$
$\Rightarrow -4a+3c=0\Rightarrow c=\dfrac{4}{3}a$
Thay vào (1) ta có: $=3{{a}^{2}}={{b}^{2}}+\dfrac{16{{a}^{2}}}{9}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=\dfrac{11}{9}{{a}^{2}}\Leftrightarrow b=\pm \dfrac{a\sqrt{11}}{3}$
Khi đó ta có: $\overrightarrow{n}\left( a,\pm \dfrac{a\sqrt{11}}{3};\dfrac{4}{3}a \right)//(3;\pm \sqrt{11};4)$ do đó $\overrightarrow{{{n}^{\prime }}}=(3;\pm \sqrt{11};4)$ cũng là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Do đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $3(x-4)\pm \sqrt{11}(y-0)+4(z-0)=0\Leftrightarrow 3x\pm \sqrt{11}y+4z-12=0$
Vậy $d(O;(\alpha ))=\dfrac{|3.0\pm \sqrt{11.0}+40-12|}{\sqrt{9+11+16}}=2$
- Gọi VTPT của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\vec{n}(a,b,c)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)$
- Sử dụng công thức: $\cos ((P);(Q))=\dfrac{|\overrightarrow{{{n}_{p}}}\cdot \overrightarrow{{{n}_{p}}}|}{\left| {{n}_{p}} \right|\left| {{n}_{p}} \right|}$
- Vì $MN\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=~0.~$
- Rút 2 trong 3 ẩn a, b, ctheo ẩn còn lại, từ đó suy ra VTPT của $\left( \alpha \right)$.
- Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua Mvà có VTPT $\overrightarrow{n}\left( a;b;c~ \right)$ có phương trình:
$a\left( x-{{x}_{M}} \right)+b\left( y-{{y}_{M}} \right)+c\left( z-{{z}_{M}} \right)=0$
- Khoảng cách từ điểm $O\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến $\left( \alpha \right):Ax+By+Cz+D=0$ là:
$d\left( O;(\alpha ) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$
Cách giải:
Gọi VTPT của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow{n}(a;b;c)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)$
Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tạo với mặt phẳng ( Oyz) có VTPT $\overrightarrow{i~}\left( 1;0;0 \right)~$ một góc ${{60}^{0}}$ nên ta có :
$\cos {{60}^{0}}=\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=2a$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}\left( 1 \right)$
Mặt khác $MN\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=~0$ $\overrightarrow{MN}\left( -4;0;3 \right)$
$\Rightarrow -4a+3c=0\Rightarrow c=\dfrac{4}{3}a$
Thay vào (1) ta có: $=3{{a}^{2}}={{b}^{2}}+\dfrac{16{{a}^{2}}}{9}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=\dfrac{11}{9}{{a}^{2}}\Leftrightarrow b=\pm \dfrac{a\sqrt{11}}{3}$
Khi đó ta có: $\overrightarrow{n}\left( a,\pm \dfrac{a\sqrt{11}}{3};\dfrac{4}{3}a \right)//(3;\pm \sqrt{11};4)$ do đó $\overrightarrow{{{n}^{\prime }}}=(3;\pm \sqrt{11};4)$ cũng là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Do đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $3(x-4)\pm \sqrt{11}(y-0)+4(z-0)=0\Leftrightarrow 3x\pm \sqrt{11}y+4z-12=0$
Vậy $d(O;(\alpha ))=\dfrac{|3.0\pm \sqrt{11.0}+40-12|}{\sqrt{9+11+16}}=2$
Đáp án D.