Google
Câu hỏi: Cho mặt nón tròn xoay đỉnh $S$ đáy là đường tròn tâm $O$ có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng $a.A,B$ là hai điểm bất kì trên đường tròn $\left( O \right).$ Thể tích khối chóp $S.OAB$ đạt giá trị lớn nhất bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{96}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$.
Gọi $\widehat{AOB}=\alpha .$ Hình chóp $S.OAB\Rightarrow {{0}^{0}}<\alpha <{{180}^{0}}\Rightarrow 0<\sin \alpha \le 1$
Diện tích $\Delta OAB$ là $\dfrac{1}{2}.OA.ON.\sin \alpha \Rightarrow $ Thể tích khối chóp $S.OAB$ là $V=\dfrac{1}{6}.SO.OA.OB.\sin \alpha $
Vì thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng $a\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};OA=OB=\dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{6}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}.\sin \alpha =\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}.\sin \alpha }{48}\le \dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \sin \alpha =1\Leftrightarrow \alpha ={{90}^{0}}\Leftrightarrow OA\bot OB$
Vậy thể thchs khối chóp $S.OAB$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{96}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$.
Gọi $\widehat{AOB}=\alpha .$ Hình chóp $S.OAB\Rightarrow {{0}^{0}}<\alpha <{{180}^{0}}\Rightarrow 0<\sin \alpha \le 1$
Diện tích $\Delta OAB$ là $\dfrac{1}{2}.OA.ON.\sin \alpha \Rightarrow $ Thể tích khối chóp $S.OAB$ là $V=\dfrac{1}{6}.SO.OA.OB.\sin \alpha $
Vì thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng $a\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};OA=OB=\dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{6}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}.\sin \alpha =\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}.\sin \alpha }{48}\le \dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \sin \alpha =1\Leftrightarrow \alpha ={{90}^{0}}\Leftrightarrow OA\bot OB$
Vậy thể thchs khối chóp $S.OAB$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}.$
Đáp án D.