Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Hình trụ (H) có bán kính đáy là r...

Hình trụ nội tiếp trong mặt cầu có tâm đáy là E, có bán kính EA = r (0 < r < R), đường cao KE = 2EI.
Xét tam giác vuông IEA có $IE=\sqrt{I{{A}^{2}}-E{{A}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}$
Thể tích của khối trụ là $V=h.\pi {{r}^{2}}=2IE.\pi {{r}^{2}}=2\pi {{r}^{2}}.\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}$
Xét hàm số $y={{r}^{2}}.\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}$ với (0 < r < R)
Có $y'=2r.\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+{{r}^{2}}.\dfrac{-2r}{2\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}}=2r.\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}-\dfrac{{{r}^{3}}}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}}=\dfrac{2r{{R}^{2}}-3{{r}^{3}}}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}}$
$y'=0\Leftrightarrow 2r{{R}^{2}}-3{{r}^{3}}=0\Leftrightarrow r(2{{R}^{2}}-3{{r}^{2}})=0\Leftrightarrow r=\dfrac{\sqrt{6}}{3}R.$
Bảng biến thiên

Nhìn Bảng biến thiên ta thấy $\Leftrightarrow y\ge y\left( \dfrac{\sqrt{6}}{3}R \right)\Rightarrow {{y}_{\max }}=y\left( \dfrac{\sqrt{6}}{3}R \right).$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow r=\dfrac{\sqrt{6}}{3}R$. Vậy thể tích hình trụ lớn nhất $\Leftrightarrow {{y}_{\max }}\Leftrightarrow r=\dfrac{\sqrt{6}}{3}R.$