Cho mặt cầu $S\left( O;4 \right)$ cố định. Hình nón $\left( N \right)$ gọi là nội tiếp mặt cầu nếu hình nón $\left( N \right)$ có đường tròn đáy...

Phương pháp:
- Gọi $r,h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón $\left( N \right).$ Dễ thấy ${{V}_{\left( N \right)}}$ lớn nhất thì $4<h\le 8.$
- Sử dụng định lí Pytago tính $r$ theo $h.$
- Tính ${{V}_{\left( N \right)}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi f\left( h \right).$
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm $\underset{\left( 4;8 \right]}{\mathop{\max }} f\left( h \right).$
Cách giải:

Gọi $r,h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón $\left( N \right).$ Dễ thấy ${{V}_{\left( N \right)}}$ lớn nhất thì $4<h\le 8.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $r=\sqrt{{{4}^{2}}-{{\left( h-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{8h-{{h}^{2}}}.$
$\Rightarrow {{V}_{\left( N \right)}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi \left( 8h-{{h}^{2}} \right)h=\dfrac{\pi }{3}\left( 8{{h}^{2}}-{{h}^{3}} \right).$
Xét hàm số $f\left( h \right)=8{{h}^{2}}-{{h}^{3}}$ với $h\in \left( 4;8 \right]$ ta có: $f'\left( h \right)=16h-3{{h}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=0 \\
& h=\dfrac{16}{3} \\
\end{aligned} \right..$
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $\underset{\left( 4;8 \right]}{\mathop{\max }} f\left( h \right)=f\left( \dfrac{16}{3} \right).$
Vậy ${{V}_{\left( N \right)}}$ đặt GTLN khi $h=\dfrac{16}{3}\Rightarrow r=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}.$