Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu (S )có tâm I,bán kính $R=\sqrt{3}$ và điểm Athuộc (S). Gọi (P)là mặt phẳng đi qua Avà tạo với IAmột góc bằng α. Biết rằng $\sin \alpha =\dfrac{1}{3}$.Tính diện tích của hình tròn có biên là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
A. $~\dfrac{\pi }{3}.~~~$
B. $~\dfrac{8\pi }{3}.~~$
C. $~\dfrac{\pi }{9}.~~$
D. $~\dfrac{2\sqrt{\pi }}{3}.~~$
A. $~\dfrac{\pi }{3}.~~~$
B. $~\dfrac{8\pi }{3}.~~$
C. $~\dfrac{\pi }{9}.~~$
D. $~\dfrac{2\sqrt{\pi }}{3}.~~$
Phương pháp:
Công thức tính diện tích đường tròn bán kính Rlà: $S=\pi {{R}^{2}}$.
Cách giải:
Gọi Olà tâm đường tròn giao tuyến của (P)và (S)
$\Rightarrow IO\bot \left( P \right).$
Khi đó ta có: $\angle \left( IA;\left( P \right) \right)=\angle \left( IA,OA \right)=\angle ~IAO.~$
$\Rightarrow \sin \angle IAO=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{OI}{IA}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow OI=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow AO=r=\sqrt{{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}}I~=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
${{S}_{\left( O \right)}}=\pi {{r}^{2}}=\pi {{\left( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{8\pi }{3}.$
Công thức tính diện tích đường tròn bán kính Rlà: $S=\pi {{R}^{2}}$.
Cách giải:
Gọi Olà tâm đường tròn giao tuyến của (P)và (S)
$\Rightarrow IO\bot \left( P \right).$
Khi đó ta có: $\angle \left( IA;\left( P \right) \right)=\angle \left( IA,OA \right)=\angle ~IAO.~$
$\Rightarrow \sin \angle IAO=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{OI}{IA}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow OI=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow AO=r=\sqrt{{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}}I~=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
${{S}_{\left( O \right)}}=\pi {{r}^{2}}=\pi {{\left( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{8\pi }{3}.$
Đáp án B.