Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 5cm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng $8\pi $. Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc (S) (D không thuộc đường tròn (C)) và tam giác ABC là tam giác đều. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD.
A. $32\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
B. $60\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
C. $20\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
D. $96\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
A. $32\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
B. $60\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
C. $20\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
D. $96\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
Lời giải: Gọi E là tâm đường tròn (C) $\Rightarrow $ Bán kính (C) là $r=\dfrac{C}{2\pi }=4$
Mà (C) là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC $\Rightarrow AB=4\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=12\sqrt{3}$
Để VABCD lớn nhất $\Leftrightarrow $ E là hình chiếu của D trên mp (ABCD), tức là $IE\cap \left( S \right)=D$
Với I là tâm mặt cầu (S) $\Rightarrow DE=R+IE=R+\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=5+\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=8$
Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.DE.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{8}{3}.12\sqrt{3}=32\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
Mà (C) là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC $\Rightarrow AB=4\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=12\sqrt{3}$
Để VABCD lớn nhất $\Leftrightarrow $ E là hình chiếu của D trên mp (ABCD), tức là $IE\cap \left( S \right)=D$
Với I là tâm mặt cầu (S) $\Rightarrow DE=R+IE=R+\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=5+\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=8$
Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.DE.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{8}{3}.12\sqrt{3}=32\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
Đáp án A.