Cho mặt cầu $\left( S...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 z + 1 = 0

và đường thẳng

d : {\begin{aligned} x = 2 - t \\ y = t \\ z = m + t \end{aligned} .

Tổng các giá trị của m để d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau
A. -5.
B. -1.
C. -4.
D. 3.

Để d cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương trình

{(2 - t)}^{2} + t^{2} + {(m + t)}^{2} - 2 (2 - t) + 4 (m + t) + 1 = 0 (1)

có 2 nghiệm phân biệt.
Ta có

(1) \Leftrightarrow 3 t^{2} + 2 (m + 1) t + m^{2} + 4 m + 1 = 0

(1) có 2 nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} - 3 m^{2} - 12 m - 3 > 0 \Leftrightarrow m^{2} + 5 m + 1 < 0

Pt có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng Vi-ét

{\begin{aligned} t_{1} t_{2} = \frac{m^{2} + 4 m + 1}{3} \\ t_{1} + t_{2} = \frac{- 2}{3} (m + 1) \end{aligned}

Khi đó,

\vec{I A} = (1 - t_{1}; t_{1}; m + 2 + t_{1}), \vec{I B} = (1 - t_{2}; t_{2}; m + 2 + t_{2})

Vậy

\vec{I A} . \vec{I B} = (1 - t_{1}) (1 - t_{2}) + t_{1} t_{2} + (m + 2 + t_{1}) (m + 2 + t_{2}) = 0

\begin{aligned} \Leftrightarrow 3 t_{1} t_{2} + (m + 1) (t_{1} + t_{2}) + {(m + 2)}^{2} + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} + 4 m + 1 - \frac{2}{3} {(m + 1)}^{2} + {(m + 2)}^{2} + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = - 1 \\ m = - 4 \end{aligned} (T M) . \end{aligned}

Đáp án A.

Cho mặt cầu $\left( S...

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page