Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4z+1=0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=t \\
& z=m+t \\
\end{aligned} \right..$ Tổng các giá trị của m để d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau
A. -5.
B. -1.
C. -4.
D. 3.
& x=2-t \\
& y=t \\
& z=m+t \\
\end{aligned} \right..$ Tổng các giá trị của m để d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau
A. -5.
B. -1.
C. -4.
D. 3.
Để d cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương trình
${{\left( 2-t \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( m+t \right)}^{2}}-2\left( 2-t \right)+4\left( m+t \right)+1=0\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt.
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+2\left( m+1 \right)t+{{m}^{2}}+4m+1=0$
(1) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'>0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-3{{m}^{2}}-12m-3>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+5m+1<0$
Pt có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng Vi-ét $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}=\dfrac{{{m}^{2}}+4m+1}{3} \\
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\dfrac{-2}{3}\left( m+1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó, $\overrightarrow{IA}=\left( 1-{{t}_{1}};{{t}_{1}};m+2+{{t}_{1}} \right),\overrightarrow{IB}=\left( 1-{{t}_{2}};{{t}_{2}};m+2+{{t}_{2}} \right)$
Vậy $\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=\left( 1-{{t}_{1}} \right)\left( 1-{{t}_{2}} \right)+{{t}_{1}}{{t}_{2}}+\left( m+2+{{t}_{1}} \right)\left( m+2+{{t}_{2}} \right)=0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 3{{t}_{1}}{{t}_{2}}+\left( m+1 \right)\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+{{\left( m+2 \right)}^{2}}+1=0 \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+1-\dfrac{2}{3}{{\left( m+1 \right)}^{2}}+{{\left( m+2 \right)}^{2}}+1=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=-4 \\
\end{aligned} \right.\left( TM \right). \\
\end{aligned}$
${{\left( 2-t \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( m+t \right)}^{2}}-2\left( 2-t \right)+4\left( m+t \right)+1=0\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt.
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+2\left( m+1 \right)t+{{m}^{2}}+4m+1=0$
(1) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'>0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-3{{m}^{2}}-12m-3>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+5m+1<0$
Pt có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng Vi-ét $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}=\dfrac{{{m}^{2}}+4m+1}{3} \\
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\dfrac{-2}{3}\left( m+1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó, $\overrightarrow{IA}=\left( 1-{{t}_{1}};{{t}_{1}};m+2+{{t}_{1}} \right),\overrightarrow{IB}=\left( 1-{{t}_{2}};{{t}_{2}};m+2+{{t}_{2}} \right)$
Vậy $\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=\left( 1-{{t}_{1}} \right)\left( 1-{{t}_{2}} \right)+{{t}_{1}}{{t}_{2}}+\left( m+2+{{t}_{1}} \right)\left( m+2+{{t}_{2}} \right)=0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 3{{t}_{1}}{{t}_{2}}+\left( m+1 \right)\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+{{\left( m+2 \right)}^{2}}+1=0 \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+1-\dfrac{2}{3}{{\left( m+1 \right)}^{2}}+{{\left( m+2 \right)}^{2}}+1=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=-4 \\
\end{aligned} \right.\left( TM \right). \\
\end{aligned}$
Đáp án A.