Google
Câu hỏi: . Cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+\left( 2-m \right)y+2\left( m+1 \right)z-6\left( m+2 \right)=0.$ Biết rằng khi m thay đổi, mặt cầu (S) luôn chứa một đường tròn cố định. Tọa độ tâm I của đường tròn đó là
A. $I\left( 1;2;1 \right).$
B. $I\left( -1;-2;-1 \right).$
C. $I\left( 1;2;-1 \right).$
D. $I\left( -1;-2;1 \right).$
A. $I\left( 1;2;1 \right).$
B. $I\left( -1;-2;-1 \right).$
C. $I\left( 1;2;-1 \right).$
D. $I\left( -1;-2;1 \right).$
Gọi $M\left( x;y;z \right)$ là điểm cố định luôn thuộc mặt cầu $\left( S \right)$.
Ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+\left( 2-m \right)y+2\left( m+1 \right)z-6\left( m+2 \right)=0$ với mọi m
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}+2y+2\text{z}-12 \right)-m\left( 2\text{x}+y-2\text{z}+6 \right)=0$ với mọi m
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}+2y+2\text{z}-12=0 \\
& 2\text{x}+y-2\text{z}+6=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy đường tròn cố định này là giao tuyến của mặt cầu
$\left( {{S}'} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}+2y+2\text{z}-12=0$ có tâm $E\left( 1;-1;-1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2\text{x}+y-2\text{z}+6=0$.
Tâm I của đường tròn là hình chiếu của E trên $\left( P \right)$.
Ta có: $EI:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-1+t \\
& z=-1-2t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow E=EI\cap \left( P \right)\Rightarrow I\left( -1;-2;1 \right)$.
Ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+\left( 2-m \right)y+2\left( m+1 \right)z-6\left( m+2 \right)=0$ với mọi m
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}+2y+2\text{z}-12 \right)-m\left( 2\text{x}+y-2\text{z}+6 \right)=0$ với mọi m
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}+2y+2\text{z}-12=0 \\
& 2\text{x}+y-2\text{z}+6=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy đường tròn cố định này là giao tuyến của mặt cầu
$\left( {{S}'} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}+2y+2\text{z}-12=0$ có tâm $E\left( 1;-1;-1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2\text{x}+y-2\text{z}+6=0$.
Tâm I của đường tròn là hình chiếu của E trên $\left( P \right)$.
Ta có: $EI:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-1+t \\
& z=-1-2t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow E=EI\cap \left( P \right)\Rightarrow I\left( -1;-2;1 \right)$.
Đáp án D.