. Cho mặt cầu $\left( S...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 (m + 1) x + (2 - m) y + 2 (m + 1) z - 6 (m + 2) = 0.

Biết rằng khi m thay đổi, mặt cầu (S) luôn chứa một đường tròn cố định. Tọa độ tâm I của đường tròn đó là
A.

I (1; 2; 1) .

B.

I (- 1; - 2; - 1) .

C.

I (1; 2; - 1) .

D.

I (- 1; - 2; 1) .

Gọi

M (x; y; z)

là điểm cố định luôn thuộc mặt cầu

(S)

.
Ta có:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 (m + 1) x + (2 - m) y + 2 (m + 1) z - 6 (m + 2) = 0

với mọi m

\Leftrightarrow (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y + 2 z - 12) - m (2 x + y - 2 z + 6) = 0

với mọi m

\Leftrightarrow {\begin{aligned} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y + 2 z - 12 = 0 \\ 2 x + y - 2 z + 6 = 0 \end{aligned}

Vậy đường tròn cố định này là giao tuyến của mặt cầu

(S^{'}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y + 2 z - 12 = 0

có tâm

E (1; - 1; - 1)

và mặt phẳng

(P) : 2 x + y - 2 z + 6 = 0

.
Tâm I của đường tròn là hình chiếu của E trên

(P)

.
Ta có:

E I : {\begin{aligned} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = - 1 - 2 t \end{aligned} \Rightarrow E = E I \cap (P) \Rightarrow I (- 1; - 2; 1)

.

Đáp án D.