Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm O và các điểm A, B, C nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$ và khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng 1. Thể tích của khối cầu $\left( S \right)$ bằng
A. $\dfrac{7\sqrt{21}\pi }{2}$.
B. $\dfrac{4\sqrt{17}\pi }{3}$.
C. $\dfrac{29\sqrt{29}\pi }{6}$.
D. $\dfrac{20\sqrt{5}\pi }{3}$.
A. $\dfrac{7\sqrt{21}\pi }{2}$.
B. $\dfrac{4\sqrt{17}\pi }{3}$.
C. $\dfrac{29\sqrt{29}\pi }{6}$.
D. $\dfrac{20\sqrt{5}\pi }{3}$.
Ta có $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25=B{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A.
Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$
H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Vì $\Delta ABC$ vuông tại A nên H là trung điểm của BC.
Vì khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng 1 nên $OH=1$.
$\Delta OHB$ vuông tại H có: $OB=\sqrt{O{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}}-\dfrac{\sqrt{29}}{2}$.
Vậy mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=OB=\dfrac{\sqrt{29}}{2}$.
Do đó thể tích khối cầu $\left( S \right)$ là: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{\sqrt{29}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{29\sqrt{29}\pi }{6}$.
Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$
H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Vì $\Delta ABC$ vuông tại A nên H là trung điểm của BC.
Vì khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng 1 nên $OH=1$.
$\Delta OHB$ vuông tại H có: $OB=\sqrt{O{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}}-\dfrac{\sqrt{29}}{2}$.
Vậy mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=OB=\dfrac{\sqrt{29}}{2}$.
Do đó thể tích khối cầu $\left( S \right)$ là: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{\sqrt{29}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{29\sqrt{29}\pi }{6}$.
Đáp án C.