Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left(S \right)$ tâm $O$ và các điểm $A$, $B$, $C$ nằm trên mặt cầu $\left(S \right)$ sao cho $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$ và khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left(ABC \right)$ bằng $1$. Thể tích của khối cầu $\left(S \right)$ bằng
A. $\frac{7\sqrt[{}]{21}\pi }{2}$.
B. $\frac{4\sqrt{17}\pi }{3}$.
C. $\frac{29\sqrt[{}]{29}\pi }{6}$.
D. $\frac{20\sqrt[{}]{5}\pi }{3}$.
Tam giác $ABC$ có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ nên vuông tại $A$.
Mặt phẳng $(ABC)$ cắt $(S)$ theo đường tròn đường kính $BC$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.
Khi đó: $IA=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$.
Mặt khác, ta có: $d(O,(ABC))=OI=1$.
Gọi $R$ là bán kính của mặt cầu $(S)$ tâm $O$.
Vì tam giác $OIA$ vuông tại $I$ nên $R=OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{29}}{2}$.
Thể tích của khối cầu $(S)$ là: $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{\sqrt{29}}{2} \right)}^{3}}=\frac{29\sqrt{29}\pi }{6}$.
A. $\frac{7\sqrt[{}]{21}\pi }{2}$.
B. $\frac{4\sqrt{17}\pi }{3}$.
C. $\frac{29\sqrt[{}]{29}\pi }{6}$.
D. $\frac{20\sqrt[{}]{5}\pi }{3}$.
Tam giác $ABC$ có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ nên vuông tại $A$.
Mặt phẳng $(ABC)$ cắt $(S)$ theo đường tròn đường kính $BC$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.
Khi đó: $IA=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$.
Mặt khác, ta có: $d(O,(ABC))=OI=1$.
Gọi $R$ là bán kính của mặt cầu $(S)$ tâm $O$.
Vì tam giác $OIA$ vuông tại $I$ nên $R=OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{29}}{2}$.
Thể tích của khối cầu $(S)$ là: $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{\sqrt{29}}{2} \right)}^{3}}=\frac{29\sqrt{29}\pi }{6}$.
Đáp án C.