Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$. Tìm các điểm $M,N\in \left( S \right)$ sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là lớn nhất, khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là nhỏ nhất, với $\left( P \right):x-2y+2\text{z}+7=0$.
A. $M\left( 2;2;0 \right),\text{ N}\left( 0;-2;4 \right)$
B. $M\left( 2;-2;4 \right),\text{ N}\left( 0;2;0 \right)$
C. $M\left( 3;-2;1 \right),\text{ N}\left( 0;-2;4 \right)$
D. $M\left( 2;2;0 \right),\text{ N}\left( 0;2;0 \right)$
A. $M\left( 2;2;0 \right),\text{ N}\left( 0;-2;4 \right)$
B. $M\left( 2;-2;4 \right),\text{ N}\left( 0;2;0 \right)$
C. $M\left( 3;-2;1 \right),\text{ N}\left( 0;-2;4 \right)$
D. $M\left( 2;2;0 \right),\text{ N}\left( 0;2;0 \right)$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;0;2 \right)$, bán kính $\text{R}=3$.
Ta làm theo hai cách.
Ta có: $\left( P \right):x-2y+2\text{z}+7=0$ nên $d\left( I;(P) \right)=\dfrac{\left| 1-2.0+2.2+7 \right|}{3}=4>3=R$.
Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ không có điểm chung với mặt cầu $\left( S \right)$.
Tất cả các điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ đều nằm trong miền giới hạn bởi hai mặt phẳng song song với $\left( P \right)$ và tiếp xúc với mặt cầu, nên điểm có khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất là các giao điểm của đường thẳng Δ với mặt cầu $\left( S \right)$, với $\left( \Delta \right)$ là đường thẳng qua I và vuông góc với $\left( P \right)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-2t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Gọi $J=\Delta \cap \left( S \right)$.
Ta có $J\in \left( S \right)$ nên ${{\left( 1+t-1 \right)}^{2}}+{{\left( -2t \right)}^{2}}+{{\left( 2+2t-2 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow t=\pm 1$.
Suy ra hai điểm thỏa mãn ${{J}_{1}}\left( 0;2;0 \right),{{\text{J}}_{2}}\left( 2;-2;4 \right)$.
Khoảng cách từ các điểm ${{J}_{1}},{{\text{J}}_{2}}$ đến $\left( P \right)$ là
$d\left( {{J}_{1}};(P) \right)=\dfrac{\left| 0+4+0+7 \right|}{3}=1;\text{ d}\left( {{J}_{2}};(P) \right)=\dfrac{\left| 2+4+8+7 \right|}{3}=7$
Vậy các điểm cần tìm là $M\left( 2;-2;4 \right),N\left( 0;2;0 \right)$.
Ta làm theo hai cách.
Ta có: $\left( P \right):x-2y+2\text{z}+7=0$ nên $d\left( I;(P) \right)=\dfrac{\left| 1-2.0+2.2+7 \right|}{3}=4>3=R$.
Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ không có điểm chung với mặt cầu $\left( S \right)$.
Tất cả các điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ đều nằm trong miền giới hạn bởi hai mặt phẳng song song với $\left( P \right)$ và tiếp xúc với mặt cầu, nên điểm có khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất là các giao điểm của đường thẳng Δ với mặt cầu $\left( S \right)$, với $\left( \Delta \right)$ là đường thẳng qua I và vuông góc với $\left( P \right)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-2t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Gọi $J=\Delta \cap \left( S \right)$.
Ta có $J\in \left( S \right)$ nên ${{\left( 1+t-1 \right)}^{2}}+{{\left( -2t \right)}^{2}}+{{\left( 2+2t-2 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow t=\pm 1$.
Suy ra hai điểm thỏa mãn ${{J}_{1}}\left( 0;2;0 \right),{{\text{J}}_{2}}\left( 2;-2;4 \right)$.
Khoảng cách từ các điểm ${{J}_{1}},{{\text{J}}_{2}}$ đến $\left( P \right)$ là
$d\left( {{J}_{1}};(P) \right)=\dfrac{\left| 0+4+0+7 \right|}{3}=1;\text{ d}\left( {{J}_{2}};(P) \right)=\dfrac{\left| 2+4+8+7 \right|}{3}=7$
Vậy các điểm cần tìm là $M\left( 2;-2;4 \right),N\left( 0;2;0 \right)$.
Đáp án B.