Cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1...

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(1;0;2)$, bán kính $\text{R}=3$.
Ta làm theo hai cách.
Ta có: $\left(P\right):x-2y+2\text{z}+7=0$ nên $d(I;(P))={\displaystyle \frac{|1-2.0+2.2+7|}{3}}=4>3=R$.
Do đó mặt phẳng $\left(P\right)$ không có điểm chung với mặt cầu $\left(S\right)$.
Tất cả các điểm thuộc mặt cầu $\left(S\right)$ đều nằm trong miền giới hạn bởi hai mặt phẳng song song với $\left(P\right)$ và tiếp xúc với mặt cầu, nên điểm có khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất là các giao điểm của đường thẳng Δ với mặt cầu $\left(S\right)$, với $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ là đường thẳng qua I và vuông góc với $\left(P\right)$.
Phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=1+t\\ & y=-2t\\ & z=2+2t\end{array}(t\in \mathbb{R})$.
Gọi $J=\mathrm{\Delta }\cap \left(S\right)$.
Ta có $J\in \left(S\right)$ nên ${(1+t-1)}^2+{(-2t)}^2+{(2+2t-2)}^2=9\iff t=\pm 1$.
Suy ra hai điểm thỏa mãn $J_1(0;2;0),{\text{J}}_2(2;-2;4)$.
Khoảng cách từ các điểm $J_1,{\text{J}}_2$ đến $\left(P\right)$ là
$d(J_1;(P))={\displaystyle \frac{|0+4+0+7|}{3}}=1;\text{ d}(J_2;(P))={\displaystyle \frac{|2+4+8+7|}{3}}=7$
Vậy các điểm cần tìm là $M(2;-2;4),N(0;2;0)$.