Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right): {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=8$ và các điểm $A\left( 3;0;0 \right)$, $B\left( 4;2;1 \right)$. Gọi $M$ là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA+2MB$ ?
A. $2\sqrt{2}$.
B. $4\sqrt{2}$.
C. $3\sqrt{2}$.
D. $6\sqrt{2}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;4;0 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$.
$IA=4\sqrt{2}$ $=2R$ $=2IM$ ; $IB=\sqrt{30}>R$ $\Rightarrow B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.
Lấy điểm $K$ thuộc tia $IA$ sao cho $\overrightarrow{IK}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{IA}$ $\Rightarrow K\left( 0;3;0 \right)$.
$\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}R$ $=\dfrac{1}{2}IM$ $\Rightarrow K$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$
Lại có: $\Delta IAM\sim \Delta IMK\ \left( c.g.c \right)$ $\Rightarrow \dfrac{MA}{KM}=\dfrac{IA}{IM}$ $=2$ $\Leftrightarrow MA=2MK$.
Suy ra: $MA+2MB=2MK+2MB$ $\ge 2BK$ $=6\sqrt{2}$.
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow M=BK\cap \left( S \right)$ và $M$ nằm giữa $B,\ K$.
Vậy ${{\left( MA+2MB \right)}_{\min }}=6\sqrt{2}$.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $4\sqrt{2}$.
C. $3\sqrt{2}$.
D. $6\sqrt{2}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;4;0 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$.
$IA=4\sqrt{2}$ $=2R$ $=2IM$ ; $IB=\sqrt{30}>R$ $\Rightarrow B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.
Lấy điểm $K$ thuộc tia $IA$ sao cho $\overrightarrow{IK}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{IA}$ $\Rightarrow K\left( 0;3;0 \right)$.
$\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}R$ $=\dfrac{1}{2}IM$ $\Rightarrow K$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$
Lại có: $\Delta IAM\sim \Delta IMK\ \left( c.g.c \right)$ $\Rightarrow \dfrac{MA}{KM}=\dfrac{IA}{IM}$ $=2$ $\Leftrightarrow MA=2MK$.
Suy ra: $MA+2MB=2MK+2MB$ $\ge 2BK$ $=6\sqrt{2}$.
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow M=BK\cap \left( S \right)$ và $M$ nằm giữa $B,\ K$.
Vậy ${{\left( MA+2MB \right)}_{\min }}=6\sqrt{2}$.
Đáp án D.