Cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left(...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho mặt cầu

(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 9

và các điểm

A (1; 0; 0), B (2; 8; 0), C (3; 4; 0)

. Điểm

M \in (S)

thỏa mãn biểu thức

P = | \vec{M A} + 2 \vec{M B} + \vec{M C} |

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó,

P_{min}

bằng:
A. 5
B.

\sqrt{3}

C.

4 (\sqrt{46} - 3)

D. 8

Mặt cầu

(S)

có tâm

E (- 1; 1; 0)

, bán kính

R = 3

.
Gọi điểm

I (x; y; z)

thỏa mãn:

\vec{I A} + 2 \vec{I B} + \vec{I C} = 0 \Rightarrow {\begin{aligned} 1 - x + 2 (2 - x) + 3 - x = 0 \\ - y + 2 (8 - y) + 4 - y = 0 \\ - z - 2 z - z = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = 2 \\ y = 5 \\ z = 0 \end{aligned} \Rightarrow I (2; 5; 0)

.
Khi đó

P = | \vec{M A} + 2 \vec{M B} + \vec{M C} | = | \vec{I A} + 2 \vec{I B} + \vec{I C} + 4 \vec{M I} | = 4 M I

.
Vậy để

P_{min}

thì

M I

ngắn nhất. Khi đó

M = E I \cap (S)

.
Ta có:

\begin{aligned} E I = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = 5 \\ \Rightarrow P_{min} = 4 | E I - R | = 4 | 5 - 3 | = 8 \end{aligned}

Đáp án D.