Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ và các điểm $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 2;8;0 \right),C\left( 3;4;0 \right)$. Điểm $M\in \left( S \right)$ thỏa mãn biểu thức $P=\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, ${{P}_{\min }}$ bằng:
A. 5
B. $\sqrt{3}$
C. $4\left( \sqrt{46}-3 \right)$
D. 8
A. 5
B. $\sqrt{3}$
C. $4\left( \sqrt{46}-3 \right)$
D. 8
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $E\left( -1;1;0 \right)$, bán kính $R=3$.
Gọi điểm $I\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn:
$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-x+2\left( 2-x \right)+3-x=0 \\
& -y+2\left( 8-y \right)+4-y=0 \\
& -z-2z-z=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=5 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 2;5;0 \right)$.
Khi đó $P=\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+4\overrightarrow{MI} \right|=4MI$.
Vậy để ${{P}_{\min }}$ thì $MI$ ngắn nhất. Khi đó $M=EI\cap \left( S \right)$.
Ta có: $\begin{aligned}
& EI=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{0}^{2}}}=5 \\
& \Rightarrow {{P}_{\min }}=4\left| EI-R \right|=4\left| 5-3 \right|=8 \\
\end{aligned}$
Gọi điểm $I\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn:
$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-x+2\left( 2-x \right)+3-x=0 \\
& -y+2\left( 8-y \right)+4-y=0 \\
& -z-2z-z=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=5 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 2;5;0 \right)$.
Khi đó $P=\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+4\overrightarrow{MI} \right|=4MI$.
Vậy để ${{P}_{\min }}$ thì $MI$ ngắn nhất. Khi đó $M=EI\cap \left( S \right)$.
Ta có: $\begin{aligned}
& EI=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{0}^{2}}}=5 \\
& \Rightarrow {{P}_{\min }}=4\left| EI-R \right|=4\left| 5-3 \right|=8 \\
\end{aligned}$
Đáp án D.