Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$ và hai điểm $A\left( 3;-2;6 \right),B\left( 0;1;0 \right)$. Giả sử $\left( \alpha \right):ax+by+cz-2=0$ đi qua $A,B$ và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính $T=a+{{b}^{2}}+{{c}^{3}}.$
A. 9.
B. 12.
C. 5.
D. 3.
A. 9.
B. 12.
C. 5.
D. 3.
Ta có tâm $I\left( 1;2;3 \right),r=5;\left( \alpha \right):ax+y+cz-2=0$ đi qua hai điểm $A\left( 3;-2;6 \right),\text{ B}\left( 0;1;0 \right)$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& 3\text{a}-2b+6c-2=0 \\
& b-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2-2c \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right. $ hay $ \left( \alpha \right):\left( 2-2c \right)x+2y+c\text{x}-2=0$
$\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất $\Leftrightarrow d\left( I;(\alpha ) \right)$ lớn nahát.
Ta có $d\left( I;(\alpha ) \right)=\dfrac{\left| \left( 2-2c \right).1+2.2+c.3-2 \right|}{\sqrt{{{\left( 2-2c \right)}^{2}}+4+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| c+4 \right|}{\sqrt{5{{c}^{2}}-8c+8}}=\sqrt{\dfrac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}}$
Đặt $f\left( c \right)=\dfrac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8};\text{ {f}'}\left( c \right)=\dfrac{-48{{c}^{2}}-144c+192}{{{\left( 5{{c}^{2}}-c+8 \right)}^{2}}};\text{ {f}'}\left( c \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=1 \\
& c=-4 \\
\end{aligned} \right.$.
Lập BBT của $f\left( x \right)=\dfrac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}$, ta có $f\left( c \right)\le f\left( 1 \right)=5$. Dấu "=" xảy ra khi $c=1$.
Lúc đó ta có $a=0;b=2;c=1$. $T=0+4+1=5$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& 3\text{a}-2b+6c-2=0 \\
& b-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2-2c \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right. $ hay $ \left( \alpha \right):\left( 2-2c \right)x+2y+c\text{x}-2=0$
$\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất $\Leftrightarrow d\left( I;(\alpha ) \right)$ lớn nahát.
Ta có $d\left( I;(\alpha ) \right)=\dfrac{\left| \left( 2-2c \right).1+2.2+c.3-2 \right|}{\sqrt{{{\left( 2-2c \right)}^{2}}+4+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| c+4 \right|}{\sqrt{5{{c}^{2}}-8c+8}}=\sqrt{\dfrac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}}$
Đặt $f\left( c \right)=\dfrac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8};\text{ {f}'}\left( c \right)=\dfrac{-48{{c}^{2}}-144c+192}{{{\left( 5{{c}^{2}}-c+8 \right)}^{2}}};\text{ {f}'}\left( c \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=1 \\
& c=-4 \\
\end{aligned} \right.$.
Lập BBT của $f\left( x \right)=\dfrac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}$, ta có $f\left( c \right)\le f\left( 1 \right)=5$. Dấu "=" xảy ra khi $c=1$.
Lúc đó ta có $a=0;b=2;c=1$. $T=0+4+1=5$.
Đáp án C.