Cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left(...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25

và hai điểm

A (3; - 2; 6), B (0; 1; 0)

. Giả sử

(α) : a x + b y + c z - 2 = 0

đi qua

A, B

và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính

T = a + b^{2} + c^{3} .

A. 9.
B. 12.
C. 5.
D. 3.

Ta có tâm

I (1; 2; 3), r = 5; (α) : a x + y + c z - 2 = 0

đi qua hai điểm

A (3; - 2; 6), B (0; 1; 0)

Suy ra

{\begin{aligned} 3 a - 2 b + 6 c - 2 = 0 \\ b - 2 = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 2 - 2 c \\ b = 2 \end{aligned}

hay

(α) : (2 - 2 c) x + 2 y + c x - 2 = 0

(α)

cắt

(S)

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất

\Leftrightarrow d (I; (α))

lớn nahát.
Ta có

d (I; (α)) = \frac{| (2 - 2 c) .1 + 2.2 + c .3 - 2 |}{\sqrt{{(2 - 2 c)}^{2} + 4 + c^{2}}} = \frac{| c + 4 |}{\sqrt{5 c^{2} - 8 c + 8}} = \sqrt{\frac{c^{2} + 8 c + 16}{5 c^{2} - 8 c + 8}}

Đặt

f (c) = \frac{c^{2} + 8 c + 16}{5 c^{2} - 8 c + 8}; {f}' (c) = \frac{- 48 c^{2} - 144 c + 192}{{(5 c^{2} - c + 8)}^{2}}; {f}' (c) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} c = 1 \\ c = - 4 \end{aligned}

.
Lập BBT của

f (x) = \frac{c^{2} + 8 c + 16}{5 c^{2} - 8 c + 8}

, ta có

f (c) \leq f (1) = 5

. Dấu "=" xảy ra khi

c = 1

.
Lúc đó ta có

a = 0; b = 2; c = 1

.

T = 0 + 4 + 1 = 5

.

Đáp án C.