Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=25$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+2z+6=0$. Một hình nón tròn xoay có đáy nằm trên $\left( P \right)$, có chiều cao $h=15$, có bán kính đáy bằng 5. Hình cầu và hình nón nằm về một phía đối với mặt phẳng $\left( P \right)$. Người ta cắt hai hình đó bởi mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình $x+2y+2z+d=0, 0<d<21$ thu được hai thiết diện có tổng diện tích là $S$. Biết rằng $S$ đạt giá trị lớn nhất khi $d=\dfrac{a}{b}$, $a, b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ (phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản). tính giá trị $T=a+b$.
A. $T=25$.
B. $T=19$.
C. $T=73$.
D. $T=85$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1 ; 2 ; 2 \right)$, bán kính $R=5$ ; $d\left( I, \left( P \right) \right)=5$ $\Rightarrow $ mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Gọi hình nón đã cho có đỉnh $A$, tâm đáy là $B$, đường sinh $AE$.
Giả sử mặt phẳng $\left( Q \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $K$, bán kính ${{R}_{1}}=KM$ ; mặt phẳng $\left( Q \right)$ cắt hình nón theo đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm $C$, bán kính ${{R}_{2}}=CD \left( CD\text{//}BE \right)$.
Dễ thấy tổng diện tích là $S$ lớn nhất thì $K$ nằm trên đoạn $IH$.
Đặt $IK=x \left( x\in \left[ 0 ; 5 \right) \right)$. Khi đó: ${{R}_{1}}=\sqrt{25-{{x}^{2}}}$, $\dfrac{CD}{BE}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{15-\left( 5-x \right)}{15}$ $\Rightarrow {{R}_{2}}=CD=\dfrac{10+x}{3}$.
Suy ra: $S=\pi R_{1}^{2}+\pi R_{2}^{2}=\pi \left( 25-{{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{10+x}{3} \right)}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{9}\left( -8{{x}^{2}}+20x+325 \right)$.
Vậy $S$ lớn nhất khi $x=\dfrac{5}{4}$ hay $d\left( \left( P \right), \left( Q \right) \right)=HK=5-x=\dfrac{15}{4}$ $\Leftrightarrow \dfrac{\left| d-6 \right|}{3}=\dfrac{15}{4}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& d=-\dfrac{21}{4} \left( ktm \right) \\
& d=\dfrac{69}{4} \left( tm \right) \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ \left( a; b \right)=\left( 69; 4 \right)$.
Vậy $T=73$.
A. $T=25$.
B. $T=19$.
C. $T=73$.
D. $T=85$.
Gọi hình nón đã cho có đỉnh $A$, tâm đáy là $B$, đường sinh $AE$.
Giả sử mặt phẳng $\left( Q \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $K$, bán kính ${{R}_{1}}=KM$ ; mặt phẳng $\left( Q \right)$ cắt hình nón theo đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm $C$, bán kính ${{R}_{2}}=CD \left( CD\text{//}BE \right)$.
Dễ thấy tổng diện tích là $S$ lớn nhất thì $K$ nằm trên đoạn $IH$.
Đặt $IK=x \left( x\in \left[ 0 ; 5 \right) \right)$. Khi đó: ${{R}_{1}}=\sqrt{25-{{x}^{2}}}$, $\dfrac{CD}{BE}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{15-\left( 5-x \right)}{15}$ $\Rightarrow {{R}_{2}}=CD=\dfrac{10+x}{3}$.
Suy ra: $S=\pi R_{1}^{2}+\pi R_{2}^{2}=\pi \left( 25-{{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{10+x}{3} \right)}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{9}\left( -8{{x}^{2}}+20x+325 \right)$.
Vậy $S$ lớn nhất khi $x=\dfrac{5}{4}$ hay $d\left( \left( P \right), \left( Q \right) \right)=HK=5-x=\dfrac{15}{4}$ $\Leftrightarrow \dfrac{\left| d-6 \right|}{3}=\dfrac{15}{4}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& d=-\dfrac{21}{4} \left( ktm \right) \\
& d=\dfrac{69}{4} \left( tm \right) \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ \left( a; b \right)=\left( 69; 4 \right)$.
Vậy $T=73$.
Đáp án C.