Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ bán kính $R=5\text{ cm}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ có chu vi bằng $8\pi \text{ cm}$. Bốn điểm $A,B,C,D$ thay đổi sao cho $A,B,C$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$, điểm $D$ thuộc $\left( S \right)$ ( $D$ không thuộc đường tròn $\left( C \right)$ ) và tam giác $ABC$ là tam giác đều. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ABCD$.
A. $32\sqrt{3}\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$.
B. $60\sqrt{3}\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$.
C. $20\sqrt{3}\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$.
D. $96\sqrt{3}\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$.
A. $32\sqrt{3}\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$.
B. $60\sqrt{3}\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$.
C. $20\sqrt{3}\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$.
D. $96\sqrt{3}\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$.
Gọi $E$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$ Bán kính của $\left( C \right)$ là $r=\dfrac{C}{2\pi }=4$
Mà $\left( C \right)$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC\Rightarrow AB=4\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=12\sqrt{3}$.
Để ${{V}_{ABCD}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow E$ là hình chiếu của $D$ trên $mp\left( ABCD \right)$, tức là $IE\cap \left( S \right)=D$.
Với $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)\Rightarrow DE=R+IE=R+\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=5+\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=8$.
Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.DE.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{8}{3}.12\sqrt{3}=32\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
Mà $\left( C \right)$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC\Rightarrow AB=4\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=12\sqrt{3}$.
Để ${{V}_{ABCD}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow E$ là hình chiếu của $D$ trên $mp\left( ABCD \right)$, tức là $IE\cap \left( S \right)=D$.
Với $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)\Rightarrow DE=R+IE=R+\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=5+\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=8$.
Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.DE.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{8}{3}.12\sqrt{3}=32\sqrt{3}c{{m}^{3}}$.
Đáp án A.