Google
Câu hỏi: Cho mạch điện như hình vẽ, cuộn dây thuần cảm. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có biểu thức $u=100\sqrt{6}\cos \left(100\pi t+\varphi \right)V$. Khi K mở hoặc đóng, thì đồ thị cường độ dòng điện qua mạch theo thời gian tương ứng là im và id được biểu diễn như hình bên. Điện trở các dây nối rất nhỏ. Giá trị của R bằng.
A. 50 Ω
B. $100\sqrt{3}\Omega $
C. 100 Ω
D. $50\sqrt{3}\Omega $
A. 50 Ω
B. $100\sqrt{3}\Omega $
C. 100 Ω
D. $50\sqrt{3}\Omega $
Từ đồ thị ta thấy được biểu thức của cường độ dòng điện khi K đóng và mở là
${{i}_{m}}=3\sqrt{2}\cos \left(\omega t+\dfrac{\pi }{2} \right)A;{{i}_{d}}=\sqrt{6}\cos \left(\omega t \right)A$
+ Khi khóa K đóng, mạch điện chỉ gồm R mắc nối tiếp với C
Tổng trở được tính theo công thức ${{Z}_{RC}}=\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{{{I}_{01}}}=\dfrac{100\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=100\Omega \left(1\right)$
+ Khi khóa K mở, mạch điện gồm ba phần tử R, L, C mắc nối tiếp.
Tổng trở được tính theo công thức $Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{{{I}_{0m}}}=\dfrac{100\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{100\sqrt{3}}{3}\Omega \left(2\right)$
+ Từ biểu thức cường độ im và id ta thấy rằng hai dòng điện vuông pha với nhau, khi đó ta có
$\dfrac{{{Z}_{C}}}{R}.\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=1\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{Z}_{C}}\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)\left(3 \right)$
Thay (3) vào (1) và (2) ta được $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{C}}\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)+Z_{C}^{2}={{100}^{2}} \\
{{Z}_{C}}\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=\dfrac{{{100}^{2}}. 3}{9} \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{L}}=\dfrac{200}{\sqrt{3}}\Omega \\
{{Z}_{C}}=50\sqrt{3}\Omega \\
\end{array} \right.$
Thay vào (3) suy ra R = 50Ω
${{i}_{m}}=3\sqrt{2}\cos \left(\omega t+\dfrac{\pi }{2} \right)A;{{i}_{d}}=\sqrt{6}\cos \left(\omega t \right)A$
+ Khi khóa K đóng, mạch điện chỉ gồm R mắc nối tiếp với C
Tổng trở được tính theo công thức ${{Z}_{RC}}=\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{{{I}_{01}}}=\dfrac{100\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=100\Omega \left(1\right)$
+ Khi khóa K mở, mạch điện gồm ba phần tử R, L, C mắc nối tiếp.
Tổng trở được tính theo công thức $Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{{{I}_{0m}}}=\dfrac{100\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{100\sqrt{3}}{3}\Omega \left(2\right)$
+ Từ biểu thức cường độ im và id ta thấy rằng hai dòng điện vuông pha với nhau, khi đó ta có
$\dfrac{{{Z}_{C}}}{R}.\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=1\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{Z}_{C}}\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)\left(3 \right)$
Thay (3) vào (1) và (2) ta được $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{C}}\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)+Z_{C}^{2}={{100}^{2}} \\
{{Z}_{C}}\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=\dfrac{{{100}^{2}}. 3}{9} \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{L}}=\dfrac{200}{\sqrt{3}}\Omega \\
{{Z}_{C}}=50\sqrt{3}\Omega \\
\end{array} \right.$
Thay vào (3) suy ra R = 50Ω
Đáp án A.