Cho m, n là các số nguyên dương khác 1. Gọi P là tích các nghiệm...

Đặt ${{\log }_{m}}x=t\Rightarrow x={{m}^{t}}$. Thay vào phương trình ta được:
$2018\left( {{\log }_{n}}{{m}^{t}} \right).t=2017t+2018\left( {{\log }_{n}}{{m}^{t}} \right)+2019$
$\Leftrightarrow 2018\left( {{\log }_{n}}m \right).{{t}^{2}}-\left( 2017+2018{{\log }_{n}}m \right)t-2019=0$
Đây là một phương trình bậc 2 theo t và $ac=-2019.2018{{\log }_{n}}m<0$
Do đó phương trình có 2 nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ và phương trình ban đầu có hai nghiệm ${{x}_{1}}={{m}^{{{t}_{1}}}}$, ${{x}_{2}}={{m}^{{{t}_{2}}}}$.
Ta có: $P={{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}}={{m}^{\dfrac{2017+2018{{\log }_{n}}m}{2018{{\log }_{n}}m}}}={{m}^{1+\dfrac{2017}{2018{{\log }_{n}}m}}}=m.{{\left( {{m}^{\dfrac{1}{{{\log }_{n}}m}}} \right)}^{\dfrac{2017}{2018}}}=m.{{n}^{\dfrac{2017}{2018}}}$
Vì m nguyên dương khác 1 nên $m\ge 2$, suy ra $P\ge 2\sqrt[2018]{{{n}^{2017}}}$. Mặt khác $(2017,2018)=1$ và $n\ge 2$
nên P nguyên và nhỏ nhất khi $\left\{ \begin{aligned}
& m=2 \\
& n={{2}^{2018}} \\
\end{aligned} \right.$.